Fiche de révision : Dérivation et optimisation des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Tangente et coefficient directeur
2. Équation de la tangente
3. Dérivées des polynômes
4. Applications aux tangentes
5. Signe de la dérivée
6. Extrema et tableau de variations
7. Discriminant du second degré

📖 1. Tangente et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La meilleure approximation affine de la courbe au voisinage de ce point.

📝 Points essentiels

📌 Le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse a est égal au nombre dérivé f′(a), et son signe indique le sens local de variation de la courbe.

💡 Astuce mémo

Coefficient directeur de la tangente → variation locale de la courbe

📖 2. Équation de la tangente

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction f et un point d’abscisse a, l’équation de la tangente est $y=f′(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux points A(a;f(a)) et M(x;f(x)) appartenant à la tangente, le coefficient directeur vérifie $\frac{dy}{dx}=\frac{y-f(a)}{x-a}=f′(a)$.

📖 3. Dérivées des polynômes

★ À maîtriser

📌 Pour n>1, la dérivée de la fonction $f(x)=x^n$ est $f′(x)=nx^{n-1}$.

📌 La dérivation est compatible avec l’addition et la soustraction, ce qui permet de dériver terme à terme les polynômes.

Compléments

• Les dérivées usuelles sont $\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2$, $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$, $\frac{d}{dx}(x)=1$ et la dérivée d’une constante comme 18 est 0.

💡 Astuce mémo

La puissance descend : xn → nxn−1

📖 4. Applications aux tangentes

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=x^2−2x+1, la dérivée est f′(x)=2x−2 et l’équation de la tangente se détermine en évaluant f′(a) et f(a) à l’abscisse demandée.

• Pour f(x)=x^3+5x^2−13x+18, la dérivée et les tangentes peuvent être calculées aux abscisses 0, 3 et 8.

📖 5. Signe de la dérivée

📝 Points essentiels

📌 Lorsque f′(x)<0 sur un intervalle, les tangentes descendent et la fonction est décroissante sur cet intervalle ; lorsque f′(x)>0, les tangentes montent et la fonction est croissante.

• Pour déterminer les variations d’une fonction, on cherche les valeurs où f′(x)=0, on étudie le signe de f′ entre ces valeurs, puis on en déduit les variations de f.

💡 Astuce mémo

f′ < 0 : la courbe descend ; f′ > 0 : la courbe monte

📖 6. Extrema et tableau de variations

★ À maîtriser

• Pour f(x)=x^2−2x+1, f′(x)=2x−2 est négative avant 1 et positive après 1, donc f atteint son minimum 0 pour x=1.

Compléments

• Pour f(x)=x^3+4,5x^2−12x−8, on obtient f′(x)=3x^2+9x−12, avec des extrema aux abscisses −4 et 1, et les valeurs f(−4)=48 et f(1)=−14,5.

💡 Astuce mémo

Dériver → résoudre f′ = 0 → étudier le signe → conclure sur les variations

📖 7. Discriminant du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2−4ac$.

📌 Si Δ>0, l’équation du second degré possède deux racines ; si Δ=0, elle possède une unique racine ; si Δ<0, elle ne possède aucune racine réelle.

Compléments

📐 Formule — Lorsque Δ>0, les deux racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; lorsque Δ=0, l’unique racine est $x=\frac{-b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ > 0 : deux racines ; Δ = 0 : une racine ; Δ < 0 : aucune racine

📊 Tableaux de synthèse

Signe de la dérivée et variations