Dérivation et optimisation des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Tangente et coefficient directeur
2. Équation de la tangente
3. Dérivées des polynômes
4. Applications aux tangentes
5. Signe de la dérivée
6. Extrema et tableau de variations
7. Discriminant du second degré

📖 1. Tangente et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La meilleure approximation affine de la courbe au voisinage de ce point.

📝 Points essentiels

📌 Le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse a est égal au nombre dérivé f′(a), et son signe indique le sens local de variation de la courbe.

💡 Astuce mémo

Coefficient directeur de la tangente → variation locale de la courbe

📖 2. Équation de la tangente

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction f et un point d’abscisse a, l’équation de la tangente est $y=f′(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux points A(a;f(a)) et M(x;f(x)) appartenant à la tangente, le coefficient directeur vérifie $\frac{dy}{dx}=\frac{y-f(a)}{x-a}=f′(a)$.

📖 3. Dérivées des polynômes

📌 Pour n>1, la dérivée de la fonction $f(x)=x^n$ est $f′(x)=nx^{n-1}$.