QCM : Modélisation probabiliste et variabilité (63 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À quoi sert un modèle scientifique dans un domaine d’application défini ?

À remplacer les observations par des hypothèses indépendantes des phénomènes
À établir avec certitude l’issue de tout phénomène étudié
À représenter le réel pour mesurer, décrire, analyser ou prédire des phénomènes
À reproduire le réel sans simplification afin d’en conserver tous les détails

À représenter le réel pour mesurer, décrire, analyser ou prédire des phénomènes

Explication

Un modèle scientifique représente le réel et permet notamment de mesurer, décrire, manipuler, analyser ou prédire des phénomènes dans un domaine défini. Il ne reproduit pas nécessairement chaque détail et ne garantit pas de prédire avec certitude toute issue.

2. Un phénomène possède plusieurs issues possibles connues, mais son résultat ne peut être déterminé avec certitude avant qu’il se produise. Comment le caractériser ?

Comme un phénomène aléatoire dont l’issue réalisée reste incertaine à l’avance
Comme un phénomène impossible dont aucune issue ne peut être décrite à l’avance
Comme un phénomène déterministe dont l’issue est fixée par les possibilités connues
Comme un phénomène continu dont les issues couvrent nécessairement un intervalle

Comme un phénomène aléatoire dont l’issue réalisée reste incertaine à l’avance

Explication

Un phénomène aléatoire se caractérise par des issues possibles connues a priori, sans que l’issue réalisée soit prévisible avec certitude. Connaître les issues envisageables ne rend pas le phénomène déterministe.

3. Dans un modèle probabiliste, quel rôle joue une variable aléatoire définie sur l’ensemble des issues Ω\Omega ?

Elle associe à chaque événement une probabilité comprise entre zéro et un
Elle attribue à chaque issue une autre issue possible de l’expérience
Elle associe à chaque issue une valeur réelle représentant une mesure de l’individu ou du sous-ensemble correspondant
Elle décrit l’ensemble des événements sans leur associer de valeur numérique

Elle associe à chaque issue une valeur réelle représentant une mesure de l’individu ou du sous-ensemble correspondant

Explication

Une variable aléatoire est une application mesurable de Ω\Omega vers R\mathbb{R} qui associe à chaque issue le résultat d’une mesure. L’attribution de probabilités aux événements relève de la probabilité, et non du rôle de la variable aléatoire.

4. Un comptage peut prendre les valeurs 0, 1, 2, et ainsi de suite, tandis qu’une durée peut varier sur un intervalle. Quelle distinction s’applique ?

Le comptage est continu, tandis que la durée est discrète
Le comptage est discret, tandis que la durée est continue
Le comptage et la durée sont discrets dès qu’ils sont mesurés
Le comptage et la durée sont continus dès qu’ils sont aléatoires

Le comptage est discret, tandis que la durée est continue

Explication

Une variable discrète prend des valeurs distinctes en nombre fini ou dénombrable, comme un comptage entier. Une durée modélisée comme pouvant varier dans un intervalle est continue, contrairement à l’idée qu’une mesure serait nécessairement discrète.

5. Pour une variable aléatoire discrète, que représente f(xk)=P(X=xk)f(x_k)=P(X=x_k) dans sa loi ?

La probabilité que la variable prenne une valeur inférieure ou égale à xkx_k
La valeur moyenne de la variable, calculée en additionnant ses valeurs possibles
La probabilité que la variable prenne la valeur xkx_k, les probabilités de toutes les valeurs possibles totalisant 1
La densité au point xkx_k, égale à la probabilité de chaque intervalle autour de ce point

La probabilité que la variable prenne la valeur $$x_k$$, les probabilités de toutes les valeurs possibles totalisant 1

Explication

La loi discrète associe à chaque valeur possible xkx_k sa probabilité P(X=xk)P(X=x_k), et la somme de ces probabilités vaut 1. Une probabilité cumulative concerne les valeurs jusqu’à un seuil, tandis qu’une densité décrit une variable continue.

6. Pour une variable continue de densité ff, comment calcule-t-on la probabilité que XX se trouve entre aa et bb ?

En additionnant les valeurs de la densité aux bornes, soit f(a)+f(b)f(a)+f(b)
En évaluant la densité au milieu de l’intervalle, soit f(a+b2)f\left(\frac{a+b}{2}\right)
En intégrant la densité sur l’intervalle, soit ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx
En intégrant la densité sur toute la droite réelle, soit ∫−∞+∞f(x) dx\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx

En intégrant la densité sur l’intervalle, soit $$\int_a^b f(x)\,dx$$

Explication

La probabilité d’un intervalle est l’aire sous la densité sur cet intervalle, donc l’intégrale de ff entre aa et bb. L’intégrale sur toute la droite vaut 1 : elle normalise la densité, mais ne donne pas la probabilité de cet intervalle particulier.

7. Dans une étude, la moyenne sert à décrire la tendance centrale, tandis que la variance mesure l’étalement des valeurs. À quelles catégories appartiennent-elles ?

La moyenne est un paramètre de position et la variance un paramètre de dispersion
La moyenne et la variance sont deux paramètres de position
La moyenne et la variance sont deux paramètres de dispersion
La moyenne est un paramètre de dispersion et la variance un paramètre de position

La moyenne est un paramètre de position et la variance un paramètre de dispersion

Explication

La moyenne décrit la position centrale, alors que la variance décrit la dispersion autour de cette position. L’écart-type, comme la variance, mesure l’étalement et non la tendance centrale.

8. Une variable a pour espérance E(X)=3E(X)=3 et pour variance σ2(X)=16\sigma^2(X)=16. Quel est son écart-type ?

44, car l’écart-type est la racine carrée de la variance
4848, car l’écart-type est le produit de la variance et de l’espérance
1313, car l’écart-type est la variance diminuée de l’espérance
1616, car l’écart-type est égal à la variance

$$4$$, car l’écart-type est la racine carrée de la variance

Explication

L’écart-type est la racine carrée de la variance, donc σ(X)=16=4\sigma(X)=\sqrt{16}=4. La valeur 16 est la variance, tandis que l’espérance n’intervient pas dans cette extraction de la racine carrée.

9. Quelle loi décrit une épreuve dont le résultat vaut 1 avec probabilité π\pi et 0 avec probabilité 1−π1-\pi ?

Une loi de Bernoulli de paramètre π\pi
Une loi continue de densité constante sur l’intervalle [0,1][0,1]
Une loi de Poisson de paramètre π\pi
Une loi binomiale de paramètres nn et π\pi

Une loi de Bernoulli de paramètre $$\pi$$

Explication

Une variable de Bernoulli prend les deux valeurs 1 et 0, avec probabilités respectives π\pi et 1−π1-\pi. La loi binomiale décrit plutôt le nombre de succès sur plusieurs épreuves de Bernoulli.

10. Une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès π=0,3\pi=0{,}3. Quelle est sa variance ?

0,300{,}30, car la variance égale l’espérance
0,210{,}21, selon π(1−π)\pi(1-\pi)
0,090{,}09, selon π2\pi^2
0,700{,}70, selon 1−π1-\pi

$$0{,}21$$, selon $$\pi(1-\pi)$$

Explication

La variance d’une variable de Bernoulli vaut π(1−π)\pi(1-\pi), soit 0,3×0,7=0,210{,}3\times0{,}7=0{,}21. L’espérance vaut bien 0,30{,}3, mais elle n’est pas égale à la variance dans ce cas.

11. On répète nn épreuves indépendantes et identiquement distribuées, chacune ayant une probabilité de succès π\pi. Quelle loi suit le nombre total de succès ?

Une loi de Bernoulli de paramètre π\pi
Une loi de Poisson de paramètre nπn\pi
Une loi binomiale de paramètres nn et π\pi
Une loi uniforme sur les entiers de 0 à nn

Une loi binomiale de paramètres $$n$$ et $$\pi$$

Explication

Le nombre de succès sur nn épreuves de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées suit une loi binomiale B(n,π)B(n,\pi). Une loi de Bernoulli décrit le résultat d’une seule épreuve, pas le total des succès de plusieurs épreuves.

12. Le nombre d’événements observés suit une loi de Poisson de paramètre λ=5\lambda=5. Quelles sont son espérance et sa variance ?

L’espérance vaut 55 et la variance vaut 2525
Elles valent toutes deux 55
L’espérance vaut 2525 et la variance vaut 55
Elles valent toutes deux 5\sqrt{5}

Elles valent toutes deux $$5$$

Explication

Pour une loi de Poisson de paramètre λ\lambda, l’espérance et la variance sont toutes deux égales à λ\lambda, ici 5. La variance n’est donc pas le carré du paramètre.

13. Quels paramètres déterminent une loi normale N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) ?

La moyenne μ\mu et la variance σ2\sigma^2
La moyenne et l’écart absolu moyen
La médiane et l’écart interquartile
Le minimum et le maximum observés

La moyenne $$\mu$$ et la variance $$\sigma^2$$

Explication

La loi normale est définie par sa moyenne μ\mu et sa variance σ2\sigma^2. La médiane et l’écart interquartile décrivent une distribution, mais ne sont pas les paramètres indiqués pour définir cette loi.

14. Pour une variable normale centrée réduite, quelle proportion des valeurs se trouve approximativement entre −1,96 et 1,96 ?

Environ 68 % des valeurs
Environ 50 % des valeurs
Environ 95 % des valeurs
Environ 99,7 % des valeurs

Environ 95 % des valeurs

Explication

Environ 95 % des valeurs d’une variable normale centrée réduite se situent entre −1,96 et 1,96. L’intervalle entre −1 et 1 écart-type contient plutôt environ 68 % des valeurs.

15. Dans une loi normale centrée réduite, quelle proportion des valeurs se situe au-delà de chacune des bornes −1 et 1 ?

Environ 5 % dans chacune des deux queues
Environ 2,5 % dans chacune des deux queues
Environ 32 % dans chacune des deux queues
Environ 16 % dans chacune des deux queues

Environ 16 % dans chacune des deux queues

Explication

Environ 68 % des valeurs se trouvent entre −1 et 1 écart-type, laissant environ 16 % dans chacune des deux queues. La proportion d’environ 2,5 % dans chaque queue correspond aux bornes proches de −1,96 et 1,96.

16. Quelle distinction permet de différencier une variable qualitative nominale d’une variable qualitative ordinale ?

La variable nominale comporte des rangs, tandis que la variable ordinale n’en comporte pas
La variable nominale est numérique, tandis que la variable ordinale est catégorielle
La variable nominale se résume par une médiane, tandis que la variable ordinale se résume par une moyenne
La variable nominale n’est pas ordonnable, tandis que la variable ordinale l’est

La variable nominale n’est pas ordonnable, tandis que la variable ordinale l’est

Explication

Les catégories d’une variable nominale ne sont pas ordonnées, alors que celles d’une variable ordinale peuvent l’être. Le fait qu’une variable ordinale puisse être ordonnée ne la rend pas numérique.

17. Dans une distribution ordonnée, que représente la médiane, également appelée deuxième quartile Q2Q_2 ?

La différence entre la valeur maximale et la valeur minimale
La valeur qui partage la distribution en deux parties égales
La valeur qui sépare les 25 % les plus faibles du reste
La différence entre le troisième et le premier quartile

La valeur qui partage la distribution en deux parties égales

Explication

La médiane, ou Q2Q_2, partage une distribution en deux parties égales. La différence entre Q3Q_3 et Q1Q_1 décrit plutôt l’intervalle interquartile.

18. Que désigne la variabilité inter-individuelle dans une population ?

Les différences entre les conditions d’examen
Les fluctuations d’un même individu au fil du temps
Les différences observées entre les individus
Les écarts dus aux incertitudes des instruments

Les différences observées entre les individus

Explication

La variabilité inter-individuelle correspond à ce qui fait que les individus se distinguent les uns des autres. Les fluctuations chez une même personne relèvent plutôt de la variabilité intra-individuelle.

19. À quoi la variabilité analytique est-elle liée ?

Aux différences naturelles entre les individus d’une population
Aux conditions d’examen précédant l’utilisation de l’instrument
Aux incertitudes des instruments de mesure, qu’il s’agisse d’observateurs ou d’appareils
Aux fluctuations d’un individu entre plusieurs moments de mesure

Aux incertitudes des instruments de mesure, qu’il s’agisse d’observateurs ou d’appareils

Explication

La variabilité analytique provient des incertitudes associées aux instruments de mesure, parmi lesquels peuvent figurer des observateurs ou des dispositifs techniques. Les conditions d’examen constituent plutôt une source de variabilité pré-instrumentale.

20. Deux observateurs obtiennent des résultats différents en évaluant la même mesure : quelle source de variabilité est en jeu ?

La variabilité analytique pré-instrumentale
La variabilité analytique instrumentale
La variabilité inter-individuelle
La variabilité intra-individuelle

La variabilité analytique instrumentale

Explication

La variabilité analytique instrumentale est liée aux incertitudes de l’observateur ou du dispositif de mesure. La variabilité pré-instrumentale concerne plutôt les conditions dans lesquelles l’examen est réalisé.

21. Un examen est réalisé dans des conditions susceptibles d’influencer son résultat avant l’intervention de l’appareil : de quelle variabilité s’agit-il ?

De la variabilité inter-individuelle
De la variabilité intra-individuelle
De la variabilité analytique pré-instrumentale
De la variabilité analytique instrumentale

De la variabilité analytique pré-instrumentale

Explication

La variabilité analytique pré-instrumentale est liée aux conditions d’examen. Les incertitudes propres à l’observateur ou au dispositif de mesure relèvent plutôt de la variabilité instrumentale.

22. Quelles sources composent l’ensemble des variabilités des mesures en sciences de la vie et en santé ?

Les variabilités inter-individuelle, biologique, environnementale et diagnostique
Les variabilités inter-individuelle, intra-individuelle, analytique pré-instrumentale et analytique instrumentale
Les variabilités intra-individuelle, instrumentale, thérapeutique et épidémiologique
Les variabilités analytique, descriptive, expérimentale et démographique

Les variabilités inter-individuelle, intra-individuelle, analytique pré-instrumentale et analytique instrumentale

Explication

Les sources comprennent les variabilités inter-individuelle et intra-individuelle, ainsi que les variabilités analytiques pré-instrumentale et instrumentale. Les catégories thérapeutique et épidémiologique ne font pas partie de cette classification.

23. Dans le modèle de décomposition, comment s’écrit une mesure observée et que représentent les quatre composantes ?

Xijk=μ+bij+ai+cijkX_{ijk}=\mu+b_{ij}+a_i+c_{ijk}, avec la moyenne, l’écart intra-individuel, l’écart individuel et l’erreur instrumentale
Xijk=ai+bij+cijkX_{ijk}=a_i+b_{ij}+c_{ijk}, avec les trois écarts et sans composante représentant la moyenne de la population
Xijk=μ+ai+bij+cijkX_{ijk}=\mu+a_i+b_{ij}+c_{ijk}, avec la moyenne, l’écart individuel, l’écart intra-individuel et l’erreur instrumentale
Xijk=μ+ai+cijk+bijX_{ijk}=\mu+a_i+c_{ijk}+b_{ij}, avec la moyenne, l’écart individuel, l’erreur instrumentale et l’écart intra-individuel

$$X_{ijk}=\mu+a_i+b_{ij}+c_{ijk}$$, avec la moyenne, l’écart individuel, l’écart intra-individuel et l’erreur instrumentale

Explication

La mesure observée additionne la moyenne de population, l’écart propre à l’individu, la variation intra-individuelle et l’erreur instrumentale. Inverser les rôles des écarts individuel et intra-individuel, comme dans une autre décomposition proposée, attribue incorrectement les composantes.

24. Dans le modèle, quelles composantes définissent la valeur individuelle « vraie » et lesquelles constituent le bruit ?

La valeur « vraie » est μ+cijk\mu+c_{ijk}, et le bruit est ai+bija_i+b_{ij}
La valeur « vraie » est μ+ai+bij\mu+a_i+b_{ij}, et le bruit est cijkc_{ijk}
La valeur « vraie » est μ+ai\mu+a_i, et le bruit est bij+cijkb_{ij}+c_{ijk}
La valeur « vraie » est μ+bij\mu+b_{ij}, et le bruit est ai+cijka_i+c_{ijk}

La valeur « vraie » est $$\mu+a_i$$, et le bruit est $$b_{ij}+c_{ijk}$$

Explication

La moyenne de population et l’écart propre à l’individu forment sa valeur individuelle hypothétique, tandis que les variations intra-individuelle et instrumentale constituent le bruit. Inclure la composante intra-individuelle dans la valeur « vraie » la confond avec une fluctuation autour de cette valeur.

25. Une mesure présente des fluctuations aléatoires d’une répétition à l’autre, sans décalage systématique identifié ; quelle caractéristique est principalement touchée ?

L’exactitude, car toute fluctuation aléatoire crée un biais systématique
La représentativité, car les fluctuations modifient le mode de sélection
La précision, car l’erreur aléatoire accroît la dispersion des mesures
La valeur individuelle vraie, car l’erreur instrumentale remplace l’écart propre à l’individu

La précision, car l’erreur aléatoire accroît la dispersion des mesures

Explication

L’erreur aléatoire se manifeste par un manque de précision, c’est-à-dire une variabilité des résultats. Un biais correspond plutôt à un décalage systématique par rapport à la valeur visée, et non à une simple fluctuation aléatoire.

26. Un indicateur doit servir à distinguer des individus, mais la variabilité mesurée provient surtout des fluctuations au sein de chaque individu et de l’analyse ; que peut-on en conclure ?

L’indicateur distingue peu les individus, car ces sources de variabilité dominent les écarts entre individus
L’indicateur distingue peu les individus, car une variabilité inter-individuelle élevée masque les écarts personnels
L’indicateur distingue bien les individus, car les fluctuations intra-individuelles augmentent leur séparation
L’indicateur distingue bien les individus, car toute variabilité mesurée reflète leurs différences

L’indicateur distingue peu les individus, car ces sources de variabilité dominent les écarts entre individus

Explication

Une mesure est utile pour différencier les individus lorsque la variabilité provient principalement de différences entre eux. Une forte variabilité intra-individuelle ou analytique brouille ces différences au lieu de les rendre plus visibles.

27. Pour évaluer une série de mesures répétées, quelle distinction faut-il faire entre exactitude et précision ?

L’exactitude concerne la dispersion, tandis que la précision concerne l’absence de biais
L’exactitude concerne la taille de l’échantillon, tandis que la précision concerne son mode de sélection
L’exactitude concerne l’absence de biais, tandis que la précision concerne la dispersion et la reproductibilité
L’exactitude concerne l’erreur instrumentale, tandis que la précision concerne la moyenne de population

L’exactitude concerne l’absence de biais, tandis que la précision concerne la dispersion et la reproductibilité

Explication

L’exactitude décrit le fait que les mesures ne présentent pas de décalage systématique, alors que la précision décrit leur dispersion et leur reproductibilité. Inverser ces notions revient à attribuer le biais à la précision plutôt qu’à l’exactitude.

28. Dans la comparaison de laboratoires, quel profil correspond au laboratoire F ?

Il ne présente pas de biais et ses mesures sont fortement imprécises
Il présente un biais, mais ses mesures ne sont pas imprécises
Il ne présente pas de biais et ses mesures sont modérément imprécises
Il présente un biais et ses mesures sont fortement imprécises

Il présente un biais, mais ses mesures ne sont pas imprécises

Explication

Le laboratoire F est biaisé, mais ne présente pas d’imprécision : ses mesures sont décalées sans forte dispersion. Le profil biaisé et fortement imprécis décrit le laboratoire E, et non F.

29. Qu’est-ce qui définit la représentativité d’un échantillon ?

La taille de ses résultats, indépendamment de la façon dont les personnes sont sélectionnées
Son mode de constitution, notamment un tirage au sort dans la population source
La proximité de ses résultats observés avec les valeurs attendues
La faible dispersion de ses mesures, même si la sélection n’est pas aléatoire

Son mode de constitution, notamment un tirage au sort dans la population source

Explication

Un échantillon représentatif se définit par son mode de constitution, notamment par un tirage au sort dans la population source. Des résultats qui semblent proches des valeurs attendues ne suffisent pas à établir la représentativité.

30. Pourquoi un échantillon est-il considéré comme une variable aléatoire à n dimensions ?

Parce que les résultats observés déterminent à eux seuls les individus inclus dans l’échantillon
Parce que répéter le même protocole peut produire un échantillon différent à chaque fois
Parce que répéter le même protocole modifie nécessairement la population source
Parce que le protocole de sélection varie à chaque répétition de l’échantillonnage

Parce que répéter le même protocole peut produire un échantillon différent à chaque fois

Explication

Les individus sélectionnés peuvent différer d’une répétition à l’autre, même lorsque le protocole reste identique ; l’échantillon est donc aléatoire. Cette variabilité ne signifie pas que le protocole doit changer entre les répétitions.

31. Dans une étude, qu’est-ce qu’un estimateur $T_n$ du paramètre d’intérêt $\theta$ ?

La valeur numérique obtenue après calcul sur un échantillon particulier
Une fonction des observations de l’échantillon servant à estimer le paramètre
La vraie valeur inconnue du paramètre dans la population étudiée
Une mesure de l’écart entre deux échantillons tirés de la population

Une fonction des observations de l’échantillon servant à estimer le paramètre

Explication

L’estimateur est une règle fonctionnelle appliquée aux variables observées pour estimer le paramètre. La valeur numérique calculée pour un échantillon particulier est l’estimation, et non l’estimateur lui-même.

32. Pour un échantillon de taille $n$, quelle règle définit l’estimateur de la moyenne ?

La somme des carrés des observations divisée par leur nombre
La plus grande observation divisée par leur nombre
La somme des observations divisée par leur nombre
La somme des écarts à la moyenne divisée par leur nombre

La somme des observations divisée par leur nombre

Explication

L’estimateur de la moyenne est la moyenne arithmétique des observations, soit leur somme divisée par $n$. La somme des écarts à leur propre moyenne ne constitue pas cette règle d’estimation.

33. Deux équipes estiment le même paramètre à partir de deux échantillons différents; quel résultat peut-on attendre des fluctuations d’échantillonnage ?

Les estimations s’éloignent nécessairement de la vraie valeur à chaque nouveau tirage
Les estimations doivent coïncider avec la vraie valeur si les échantillons sont distincts
Les estimations doivent être identiques dès que les échantillons ont la même taille
Les estimations peuvent être proches sans être identiques ni égales à la vraie valeur

Les estimations peuvent être proches sans être identiques ni égales à la vraie valeur

Explication

Les fluctuations d’échantillonnage font varier les estimations, qui peuvent être proches sans coïncider entre elles ou avec le paramètre réel. Une taille d’échantillon identique ne garantit donc pas des estimations identiques.

34. Quand la taille de l’échantillon devient grande, que prévoit le théorème central limite pour la distribution de l’estimation de la moyenne ?

Elle tend vers la loi initiale de la variable, quelle que soit sa forme
Elle reste identique à la loi initiale, mais sa moyenne devient nulle
Elle devient uniforme dès que la variable initiale est quantitative
Elle tend vers une loi normale, quelle que soit la loi de la variable initiale

Elle tend vers une loi normale, quelle que soit la loi de la variable initiale

Explication

Le théorème central limite indique que la distribution de l’estimation de la moyenne tend vers une loi normale pour un grand échantillon. La distribution initiale de la variable n’a pas besoin d’être elle-même normale.

35. Pour des observations indépendantes d’une variable de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$, quelles sont l’espérance et la variance de la moyenne d’échantillon $M_n$ ?

Son espérance vaut $\mu$ et sa variance vaut $\frac{\sigma^2}{n}$
Son espérance vaut $\sigma^2$ et sa variance vaut $\frac{\mu}{n}$
Son espérance vaut $\mu$ et sa variance vaut $n\sigma^2$
Son espérance vaut $\frac{\mu}{n}$ et sa variance vaut $\sigma^2$

Son espérance vaut $\mu$ et sa variance vaut $\frac{\sigma^2}{n}$

Explication

La moyenne d’échantillon est $M_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$; son espérance est $\mu$ et sa variance est $\frac{\sigma^2}{n}$. La variance de la moyenne diminue donc avec la taille de l’échantillon, plutôt que d’augmenter comme $n\sigma^2$.

36. Comment caractérise-t-on la moyenne d’échantillon $M_n$ lorsqu’elle sert à estimer la moyenne de la population ?

Elle est biaisée et convergente pour la variance de la population
Elle est biaisée et non convergente pour la moyenne de la population
Elle est sans biais et convergente pour la moyenne de la population
Elle est sans biais et non convergente pour la proportion de la population

Elle est sans biais et convergente pour la moyenne de la population

Explication

La moyenne d’échantillon $M_n$ est un estimateur sans biais et convergent de la moyenne de la population. Le fait qu’elle estime une moyenne ne signifie pas qu’elle estime la variance.

37. Dans un échantillon de variables de Bernoulli, on observe $Z$ valeurs égales à 1 parmi $n$ observations; quelle relation donne la proportion observée ?

$P_n=\frac{Z}{n-1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$
$P_n=\frac{Z}{n}=\sum_{i=1}^{n}X_i$
$P_n=\frac{n}{Z}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$
$P_n=\frac{Z}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

$P_n=\frac{Z}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

Explication

La proportion observée est le nombre de succès divisé par la taille de l’échantillon, ce qui équivaut à la moyenne des indicatrices $X_i$. Le rapport inverse $n/Z$ ne représente pas une proportion de succès.

38. À mesure que la taille de l’échantillon augmente, que signifie la convergence d’un estimateur $T_n$ ?

La variance de la population devient de plus en plus petite
Les valeurs de l’estimateur se regroupent de plus en plus autour de la vraie valeur
L’espérance de l’estimateur s’éloigne de plus en plus de la vraie valeur
Chaque échantillon produit exactement la même valeur de l’estimateur

Les valeurs de l’estimateur se regroupent de plus en plus autour de la vraie valeur

Explication

Un estimateur convergent donne, lorsque $n$ augmente, des valeurs de plus en plus regroupées autour du paramètre réel. Cela ne signifie pas que tous les échantillons produisent une valeur exactement identique.

39. Que signifie un niveau de confiance $1-\alpha$ pour un intervalle de confiance construit sur des échantillons répétés ?

Le paramètre fixe a une probabilité $1-\alpha$ de changer de valeur entre les tirages
Chaque intervalle contient le paramètre avec une probabilité exactement égale à $1-\alpha$
Environ une proportion $\alpha$ des intervalles obtenus contient le paramètre fixe
Environ une proportion $1-\alpha$ des intervalles obtenus contient le paramètre fixe

Environ une proportion $1-\alpha$ des intervalles obtenus contient le paramètre fixe

Explication

Le niveau de confiance décrit la proportion de couverture attendue sur des échantillons obtenus par tirages répétés. Il ne représente pas une probabilité que la valeur fixe du paramètre devienne aléatoire.

40. Pour une moyenne estimée $m$, un échantillon de taille $n\ge30$ et une variance estimée $s^2$, quelle forme prend l’intervalle de confiance au risque $\alpha$ ?

$m\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s^2}{n}}$
$m\pm z_{\alpha}\sqrt{\frac{s^2}{n}}$
$m\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{ns^2}{1}}$
$m\pm z_{\alpha/2}\frac{s^2}{n}$

$m\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s^2}{n}}$

Explication

L’intervalle est centré sur $m$ et sa marge d’erreur est $z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s^2}{n}}$. Utiliser $z_{\alpha}$ au lieu du quantile bilatéral $z_{\alpha/2}$ ne respecte pas la formule de cet intervalle.

41. Pour une proportion observée $p$ dans un échantillon de taille $n$, quelle expression donne l’intervalle de confiance au risque $\alpha$ ?

$p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
$p\pm z_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
$p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p}{n(1-p)}}$
$p\pm z_{\alpha/2}\frac{p(1-p)}{n}$

$p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Explication

La marge d’erreur pour une proportion est $z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, ajoutée et soustraite à $p$. La formule avec $z_{\alpha}$ ne correspond pas au quantile bilatéral requis.

42. Pour vérifier si un intervalle de confiance d’une proportion est applicable, quelles conditions portant sur ses bornes doivent être satisfaites ?

$n p_{\mathrm{borne\ sup}}\ge5$ et $n(1-p_{\mathrm{borne\ inf}})\ge5$
$n p_{\mathrm{borne\ inf}}\le5$ et $n(1-p_{\mathrm{borne\ sup}})\le5$
$n p_{\mathrm{borne\ inf}}\ge5$ et $n(1-p_{\mathrm{borne\ sup}})\ge5$
$n p_{\mathrm{borne\ inf}}\ge5$ et $n p_{\mathrm{borne\ sup}}\ge5$

$n p_{\mathrm{borne\ inf}}\ge5$ et $n(1-p_{\mathrm{borne\ sup}})\ge5$

Explication

L’application de l’intervalle exige au moins 5 succès à la borne inférieure et au moins 5 échecs à la borne supérieure, selon les deux inégalités indiquées. Vérifier le nombre d’échecs à la borne inférieure ne correspond pas à la seconde condition.

43. Une analyste attribue une probabilité à un événement à partir de son expérience, sans répéter l’épreuve. Quelle approche utilise-t-elle ?

L’approche fréquentiste, fondée sur la fréquence limite
L’approche combinatoire, fondée sur le dénombrement des issues
L’approche subjective, fondée sur un degré de croyance
L’approche axiomatique, fondée sur les résultats élémentaires

L’approche subjective, fondée sur un degré de croyance

Explication

Une probabilité subjective traduit un degré de croyance appuyé sur l’expérience ou le savoir et ne requiert pas de répétitions. L’approche fréquentiste, elle, repose sur la fréquence observée au fil des répétitions.

44. Quelle propriété caractérise une probabilité axiomatique associée à un événement ?

Elle associe à l’événement une valeur déterminée par sa répétition
Elle associe à chaque résultat possible une fréquence observée
Elle associe à l’événement une valeur réelle comprise entre 0 et 1
Elle associe à l’événement un nombre réel supérieur ou égal à 1

Elle associe à l’événement une valeur réelle comprise entre 0 et 1

Explication

Une probabilité axiomatique est une fonction qui attribue à chaque événement une valeur réelle de l’intervalle de 0 à 1. Une fréquence observée relève plutôt de l’approche fréquentiste.

45. Lors d’une expérience aléatoire, que désigne l’univers Ω\Omega ?

L’ensemble des résultats possibles de l’expérience
L’ensemble des résultats observés lors des répétitions
L’ensemble des événements considérés comme probables
Le résultat élémentaire obtenu lors d’un essai particulier

L’ensemble des résultats possibles de l’expérience

Explication

L’univers Ω\Omega regroupe tous les résultats possibles de l’épreuve aléatoire. Un résultat obtenu lors d’un essai particulier est un résultat élémentaire, et non l’ensemble des possibilités.

46. Pour deux événements AA et BB, que signifie leur union A∪BA\cup B ?

Un seul des deux événements se réalise, à l’exclusion de l’autre
Aucun des deux événements ne se réalise
Au moins l’un des deux événements se réalise, éventuellement les deux
Les deux événements se réalisent simultanément

Au moins l’un des deux événements se réalise, éventuellement les deux

Explication

L’union comprend les issues où AA ou BB se réalise, y compris celles où ils se réalisent tous deux. L’intersection, contrairement à l’union, correspond à la réalisation simultanée des deux événements.

47. Si la probabilité de AA est 0,370{,}37, quelle est la probabilité de son complémentaire ?

0,370{,}37
0,270{,}27
0,630{,}63
1,371{,}37

$$0{,}63$$

Explication

La probabilité du complémentaire vaut 1−P(A)1-P(A), donc ici 1−0,37=0,631-0{,}37=0{,}63. La valeur 0,370{,}37 est celle de AA, pas de son complémentaire.

48. Deux événements AA et BB peuvent se réaliser ensemble. Quelle formule donne la probabilité de leur union ?

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
P(A∪B)=P(A)P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)P(B)-P(A\cap B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)+P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Explication

Pour des événements qui peuvent se chevaucher, on soustrait l’intersection afin de ne pas compter deux fois les issues communes. La simple somme convient lorsque les événements sont incompatibles, donc que leur intersection est vide.

49. Les événements BB et Bˉ\bar B partitionnent l’univers. Quelle décomposition de P(A)P(A) en découle ?

P(A)=P(A∩B)+P(A∩Bˉ)P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\bar B)
P(A)=P(A∩B)P(A∩Bˉ)P(A)=P(A\cap B)P(A\cap\bar B)
P(A)=P(B)+P(Bˉ)P(A)=P(B)+P(\bar B)
P(A)=P(A∩B)−P(A∩Bˉ)P(A)=P(A\cap B)-P(A\cap\bar B)

$$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\bar B)$$

Explication

Les cas où AA se réalise avec BB et avec Bˉ\bar B forment deux parties disjointes qui couvrent AA; leurs probabilités s’additionnent. La somme P(B)+P(Bˉ)P(B)+P(\bar B) vaut la probabilité de l’univers, pas celle de AA.

50. Sachant que P(B)>0P(B)>0, comment calcule-t-on la probabilité conditionnelle de AA sachant BB ?

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A\mid B)=P(A\cap B)P(B)
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
P(A∣B)=P(A∩B)P(A)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}
P(A∣B)=P(A)+P(B)P(A\mid B)=P(A)+P(B)

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Explication

La probabilité conditionnelle de AA sachant BB rapporte la probabilité de leur intersection à celle de BB. Diviser par P(A)P(A) correspondrait à calculer P(B∣A)P(B\mid A).

51. Une enquête tient compte du fait que BB s’est produit pour évaluer la probabilité de AA. Quelle probabilité décrit cette évaluation ?

La probabilité conjointe P(A∩B)P(A\cap B)
La probabilité a priori P(A)P(A)
La probabilité marginale P(B)P(B)
La probabilité a posteriori P(A∣B)P(A\mid B)

La probabilité a posteriori $$P(A\mid B)$$

Explication

La probabilité a posteriori de AA prend en compte l’information selon laquelle BB s’est produit et s’écrit P(A∣B)P(A\mid B). La probabilité a priori P(A)P(A) ne tient pas compte de cette information.

52. Quelle égalité relie les probabilités conditionnelles de AA et BB à leur intersection ?

P(A∣B)P(B)=P(A∩B)=P(B∣A)P(A)P(A\mid B)P(B)=P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)
P(A∣B)+P(B)=P(A∩B)=P(B∣A)+P(A)P(A\mid B)+P(B)=P(A\cap B)=P(B\mid A)+P(A)
P(A∣B)=P(A∩B)=P(B∣A)P(A\mid B)=P(A\cap B)=P(B\mid A)
P(A∣B)P(A)=P(A∩B)=P(B∣A)P(B)P(A\mid B)P(A)=P(A\cap B)=P(B\mid A)P(B)

$$P(A\mid B)P(B)=P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)$$

Explication

La probabilité de l’intersection s’obtient en multipliant la probabilité conditionnelle par celle de l’événement qui sert de condition, dans l’un ou l’autre sens. Multiplier P(A∣B)P(A\mid B) par P(A)P(A) ne suit pas cette relation.

53. Si savoir que BB s’est produit ne change pas la probabilité de AA, quelle relation caractérise l’indépendance ?

P(A∪B)=P(A)P(B)P(A\cup B)=P(A)P(B)
P(A∩B)=0P(A\cap B)=0
P(A∣B)=P(A)P(A\mid B)=P(A)
P(A∣B)=P(B)P(A\mid B)=P(B)

$$P(A\mid B)=P(A)$$

Explication

L’indépendance signifie que connaître la réalisation de BB ne modifie pas la probabilité de AA, d’où P(A∣B)=P(A)P(A\mid B)=P(A). Une intersection vide caractérise l’incompatibilité, qui est une notion différente.

54. Pour estimer la probabilité d’appartenir à la catégorie A+ sachant que le résultat observé est B+, quelle expression applique le théorème de Bayes pour deux catégories complémentaires ?

P(B+∣A+)P(A+)P(B+)\frac{P(B+\mid A+)P(A+)}{P(B+)}
P(A+)P(B+∣A+)P(A+)P(B+∣A+)+P(A−)P(B−∣A−)\frac{P(A+)P(B+\mid A+)}{P(A+)P(B+\mid A+)+P(A−)P(B−\mid A−)}
P(A+)P(B+∣A+)P(A+)P(B+∣A+)+P(A−)P(B+∣A−)\frac{P(A+)P(B+\mid A+)}{P(A+)P(B+\mid A+)+P(A−)P(B+\mid A−)}
P(A+)P(B+∣A+)P(A+)+P(B+∣A+)\frac{P(A+)P(B+\mid A+)}{P(A+)+P(B+\mid A+)}

$$\frac{P(A+)P(B+\mid A+)}{P(A+)P(B+\mid A+)+P(A−)P(B+\mid A−)}$$

Explication

Le dénominateur additionne les probabilités conjointes d’obtenir B+ dans les deux catégories complémentaires, tandis que le numérateur correspond à A+ et B+ ensemble. Une expression utilisant B− dans le second terme du dénominateur ne calcule pas la probabilité totale de B+.

55. On sait que P(I∣F)=0,40P(I\mid F)=0{,}40, où I désigne un infarctus et F le fait de fumer; que peut-on conclure directement ?

La probabilité d’infarctus parmi les fumeurs est de 40 %.
La proportion de personnes sans infarctus parmi les fumeurs est de 40 %.
La proportion de fumeurs parmi les personnes ayant un infarctus est de 40 %.
La probabilité d’être fumeur parmi les personnes sans infarctus est de 40 %.

La probabilité d’infarctus parmi les fumeurs est de 40 %.

Explication

P(I∣F)P(I\mid F) décrit la fréquence des infarctus dans le groupe des fumeurs. La proportion de fumeurs parmi les personnes ayant un infarctus correspond à P(F∣I)P(F\mid I) et ne se déduit pas directement de cette valeur.

56. Dans une population, comment peut se manifester le paradoxe de la prévention ?

La réduction du risque individuel entraîne nécessairement une hausse du nombre total de cas.
Un grand groupe à fort risque produit moins de cas qu’un petit groupe à faible risque.
Un grand groupe à faible risque peut produire davantage de cas qu’un petit groupe à fort risque.
Un petit groupe à faible risque entraîne davantage de cas qu’un vaste groupe à fort risque.

Un grand groupe à faible risque peut produire davantage de cas qu’un petit groupe à fort risque.

Explication

Le paradoxe tient au fait qu’un risque individuel faible, appliqué à un très grand nombre de personnes, peut générer plus de cas qu’un risque élevé dans un petit groupe. Le paradoxe ne signifie pas qu’une réduction du risque individuel entraîne nécessairement une hausse des cas.

57. Quel est le rôle d’un test diagnostique en pratique clinique ?

Établir la cause de la maladie à partir de résultats biologiques ou d’imagerie.
Mesurer le risque futur de maladie sans évaluer son état de présence.
Déterminer le traitement qui élimine la maladie chez une personne malade.
Évaluer la présence ou l’absence d’une maladie à partir de résultats d’examen.

Évaluer la présence ou l’absence d’une maladie à partir de résultats d’examen.

Explication

Un test diagnostique est un examen clinique, biologique ou d’imagerie dont les résultats servent à évaluer si une maladie est présente ou absente. Le choix d’un traitement ne constitue pas la fonction définissant le test diagnostique.

58. Un examen fournit une mesure numérique continue qu’il faut convertir en résultat positif ou négatif : quelle caractéristique décrit cette situation ?

L’information est quantitative et établit directement le statut réel de la maladie.
L’information est qualitative et nécessite le choix d’un seuil numérique.
L’information est qualitative et son interprétation ne requiert pas de seuil.
L’information est quantitative et nécessite le choix d’un seuil.

L’information est quantitative et nécessite le choix d’un seuil.

Explication

Une information quantitative doit être interprétée à l’aide d’un seuil pour distinguer les résultats positifs des résultats négatifs. Un résultat qualitatif peut être binaire, mais il ne correspond pas à la mesure numérique décrite ici.

59. Pour évaluer un nouveau test, quel rôle remplit le gold standard ?

Il établit le statut de maladie ou d’absence de maladie sans erreur ni incertitude.
Il fournit un résultat potentiellement erroné que l’examen étudié doit vérifier.
Il transforme une mesure quantitative du nouveau test en résultat binaire.
Il estime la probabilité de maladie à partir de la prévalence observée.

Il établit le statut de maladie ou d’absence de maladie sans erreur ni incertitude.

Explication

Le gold standard est l’examen de référence qui classe les personnes comme malades ou non malades sans erreur ni incertitude. C’est le test évalué, et non l’examen de référence, qui peut fournir un résultat erroné.

60. Parmi les personnes malades, quelle proportion est utilisée pour calculer la sensibilité d’un test ?

Les personnes non malades ayant un résultat négatif, rapportées à l’ensemble des tests négatifs.
Les personnes ayant un résultat positif, rapportées à l’ensemble des personnes malades.
Les personnes ayant un résultat négatif, rapportées à l’ensemble des personnes non malades.
Les personnes malades ayant un résultat positif, rapportées à l’ensemble des tests positifs.

Les personnes ayant un résultat positif, rapportées à l’ensemble des personnes malades.

Explication

La sensibilité est la probabilité d’obtenir un test positif sachant que la personne est malade; elle se calcule donc parmi les malades. La proportion de résultats négatifs parmi les non-malades correspond plutôt à la spécificité.

61. Un patient obtient un résultat positif; quelle probabilité exprime la valeur prédictive positive ?

La probabilité que le patient ne soit pas malade sachant que son test est négatif.
La probabilité que le patient soit malade sachant que son test est positif.
La probabilité que le test soit négatif sachant que le patient n’est pas malade.
La probabilité que le test soit positif sachant que le patient est malade.

La probabilité que le patient soit malade sachant que son test est positif.

Explication

La valeur prédictive positive porte sur la probabilité d’être malade parmi les personnes dont le test est positif. La probabilité d’un test positif parmi les personnes malades est la sensibilité, une mesure différente.

62. Pour calculer la valeur prédictive positive à partir de la prévalence p, de la sensibilité et de la spécificité, quelle formule convient ?

p×Spep×Spe+(1−p)×(1−Se)\frac{p\times Spe}{p\times Spe+(1-p)\times(1-Se)}
(1−p)×Spe(1−p)×Spe+p×(1−Se)\frac{(1-p)\times Spe}{(1-p)\times Spe+p\times(1-Se)}
p×Sep×Se+(1−p)×Spe\frac{p\times Se}{p\times Se+(1-p)\times Spe}
p×Sep×Se+(1−p)×(1−Spe)\frac{p\times Se}{p\times Se+(1-p)\times(1-Spe)}

$$\frac{p\times Se}{p\times Se+(1-p)\times(1-Spe)}$$

Explication

La valeur prédictive positive rapporte les vrais positifs attendus, p×Sep\times Se, à l’ensemble des résultats positifs, qui comprennent aussi les faux positifs. La formule qui utilise les vrais négatifs et les faux négatifs correspond à la valeur prédictive négative.

63. Parmi les personnes dont le test est négatif, quelle probabilité représente la valeur prédictive négative ?

La probabilité d’obtenir un test négatif sachant que la personne n’est pas malade.
La probabilité d’obtenir un test positif sachant que la personne est malade.
La probabilité de ne pas être malade sachant que le test est négatif.
La probabilité d’être malade sachant que le test est positif.

La probabilité de ne pas être malade sachant que le test est négatif.

Explication

La valeur prédictive négative indique la probabilité qu’une personne ne soit pas malade sachant que son test est négatif. La probabilité d’un résultat négatif parmi les personnes non malades est la spécificité.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 90 flashcards sur Modélisation probabiliste et variabilité.

À quoi sert un modèle scientifique dans un domaine d’application défini ?

À mesurer, décrire, manipuler, analyser ou prédire des phénomènes.

Qu’est-ce qui caractérise un phénomène aléatoire avant sa réalisation ?

Ses issues possibles sont connues, mais son issue réalisée n’est pas prévisible avec certitude.

Que représente X(ω)X(\omega) pour une variable aléatoire XX ?

Le résultat d’une mesure effectuée sur l’individu ou le sous-ensemble correspondant à ω\omega.

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