Fiche de révision : Mouvement et deuxième loi de Newton

📋 Plan du Cours

1. Position et vitesse du point matériel
2. Accélération et dérivées temporelles
3. Mouvements rectilignes
4. Mouvements circulaires et repère de Frenet
5. Référentiels galiléens et centre de masse
6. Deuxième loi de Newton

📖 1. Position et vitesse du point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Dans le repère cartésien lié au référentiel, le vecteur position du point M est $\overrightarrow{OM}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le vecteur vitesse est la dérivée temporelle du vecteur position : $\vec{v}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$.

📐 Formule - Les composantes de la vitesse sont $v_x=\frac{dx}{dt}$ et $v_y=\frac{dy}{dt}$.

• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Compléments

• Les coordonnées cartésiennes x(t) et y(t) donnent la position du point M à l’instant t.

📐 Formule - La distance à l’origine vérifie $OM=\sqrt{x^2+y^2}$.

📐 Formule - La valeur de la vitesse vérifie $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.

• La vitesse moyenne entre M_i et M_{i+1} est le déplacement vectoriel $\overrightarrow{M_iM_{i+1}}$ divisé par la durée $t_{i+1}-t_i$.

📖 2. Accélération et dérivées temporelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur accélération : Caractérise la variation du vecteur vitesse au cours du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le vecteur accélération est la dérivée temporelle du vecteur vitesse : $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$.

📐 Formule - Les composantes de l’accélération sont $a_x=\frac{dv_x}{dt}$ et $a_y=\frac{dv_y}{dt}$.

Compléments

📐 Formule - Les composantes de l’accélération sont aussi les dérivées secondes des coordonnées : $a_x=\frac{d^2x}{dt^2}$ et $a_y=\frac{d^2y}{dt^2}$.

📐 Formule - La valeur de l’accélération vérifie $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$.

• Le vecteur accélération est colinéaire et de même sens que la variation du vecteur vitesse.

📖 3. Mouvements rectilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne : Lorsque la trajectoire du système est une portion de droite.

★ À maîtriser

📌 Dans un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur accélération est nul.

• Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, l’accélération est constante et dirigée selon la droite support de la trajectoire.

Compléments

📌 Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, l’accélération est de même sens que la vitesse si le mouvement est accéléré et de sens opposé si le mouvement est ralenti.

💡 Astuce mémo

Rectiligne uniforme : accélération nulle ; rectiligne varié : accélération constante.

📖 4. Mouvements circulaires et repère de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire : Lorsque la trajectoire du système est une portion de cercle.
• Repère de Frenet : Le repère de Frenet a pour origine mobile le point M, avec un vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la trajectoire et un vecteur unitaire tangent orienté dans le sens du mouvement.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire de rayon R, l’accélération s’écrit $\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{u}_n+\frac{dv}{dt}\vec{u}_t$.

📌 Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante et l’accélération est perpendiculaire à la trajectoire, dirigée vers le centre, avec une valeur égale à $\frac{v^2}{R}$.

Compléments

📐 Formule - Dans le repère de Frenet, le vecteur vitesse s’écrit $\vec{v}=v\vec{u}_t$.

📐 Formule - L’accélération normale vaut $a_n=\frac{v^2}{R}$ et l’accélération tangentielle vaut $a_t=\frac{dv}{dt}$.

📌 Dans un mouvement circulaire varié, la vitesse varie, l’accélération n’est pas perpendiculaire à la trajectoire et sa valeur est $a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}$.

📌 Si l’accélération tangentielle est nulle, alors $\frac{dv}{dt}=0$, la vitesse est constante et le mouvement circulaire est uniforme.

💡 Astuce mémo

En M, imaginez la flèche tangentielle u_t dans le sens du mouvement et la flèche normale u_n tournée vers l’intérieur du cercle.

📖 5. Référentiels galiléens et centre de masse

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié.
• Centre de masse : L’unique point d’un système où le principe d’inertie peut toujours s’appliquer.

📝 Points essentiels

• Pour étudier le mouvement d’un système par son centre de masse G, on considère que toute la masse du système est concentrée en G.

• Le référentiel terrestre a son origine en un point de la surface terrestre et ses axes liés à cette surface ; il peut être considéré comme galiléen pour étudier, par exemple, le mouvement d’un avion.

• Le référentiel géocentrique a son origine au centre de la Terre et des axes pointant vers trois étoiles lointaines ; il peut être considéré comme galiléen pour étudier un satellite terrestre.

• Le référentiel héliocentrique a son origine au centre du Soleil et des axes pointant vers trois étoiles lointaines ; il peut être considéré comme galiléen pour étudier les planètes du système solaire.

📖 6. Deuxième loi de Newton

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, pour un système de masse constante, la somme des forces est égale au produit de la masse par l’accélération de son centre de masse : $\sum\vec{F}=m\vec{a}_G$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque l’intervalle de temps tend vers zéro, la relation approchée $\sum\vec{F}=m\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ devient $\sum\vec{F}=m\vec{a}$.

📌 Pour un système immobile, la somme des forces est nulle, l’accélération du centre de masse est nulle et sa vitesse est constante.

• Le principe d’inertie est un cas particulier de la deuxième loi de Newton lorsque le système est immobile.

• La deuxième loi de Newton permet de déterminer l’accélération du centre de masse à partir des forces appliquées, ou les forces à partir de cette accélération.

💡 Astuce mémo

La résultante des forces produit l’accélération du centre de masse : ΣF → a_G.