Fiche de révision : Limites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites infinies à l’infini
2. Limites finies et asymptotes horizontales
3. Limites infinies en un réel
4. Opérations sur les limites
5. Composition de fonctions et limites
6. Comparaison et théorème des gendarmes

📖 1. Limites infinies à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en +∞ : La fonction f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si ses valeurs dépassent tout réel A lorsque x est suffisamment grand.

★ À maîtriser

• Pour tout entier naturel non nul n, $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$.

Compléments

• Pour tout entier pair non nul n, $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$.

• Pour tout entier impair non nul n, $\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty$.

• Les limites de $\sqrt{x}$ et de $e^x$ quand x tend vers +∞ sont +∞.

📖 2. Limites finies et asymptotes horizontales

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie en +∞ : La fonction f a pour limite le réel ℓ en +∞ lorsque ses valeurs appartiennent à tout intervalle ouvert contenant ℓ dès que x est suffisamment grand.
• Asymptote horizontale : Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$, la droite d’équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞ ; la définition s’étend de même à −∞.

📝 Points essentiels

• Les limites de $\frac1x$ en +∞ et en −∞ sont nulles.

• Pour tout entier naturel non nul n, la limite de $\frac1{x^n}$ en +∞ est nulle.

• La limite de $e^x$ quand x tend vers −∞ est nulle.

📖 3. Limites infinies en un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en a : La fonction f tend vers +∞ en a si, pour tout réel A, ses valeurs dépassent A lorsque x est suffisamment proche de a ; la définition analogue vaut pour une limite −∞.
• Asymptote verticale : Si f tend vers +∞ ou −∞ en a, à droite ou à gauche, sa courbe représentative admet la droite d’équation $x=a$ comme asymptote verticale.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=\frac1{(x-2)^2}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, $\lim_{x\to2}f(x)=+\infty$.

📖 4. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

📌 Pour une somme, un produit ou un quotient de limites, les formes indéterminées sont respectivement $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac00$.

📌 La limite d’une somme de limites finies L et L′ est L + L′.

Compléments

📌 La limite d’un produit de limites finies L et L′ est L × L′ ; si un facteur tend vers l’infini et l’autre vers une limite finie non nulle, le produit est infini.

📌 Si le numérateur tend vers une limite finie et le dénominateur vers une limite finie non nulle, la limite du quotient est le quotient des limites.

• Dans les produits et quotients donnant une limite infinie, la règle des signes détermine si cette limite est +∞ ou −∞.

📖 5. Composition de fonctions et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : La composée de g suivie de f, notée $f\circ g$, est définie par $f\circ g(x)=f(g(x))$ lorsque g(x) appartient au domaine de f.

★ À maîtriser

📌 Si $\lim_{x\to a}g(x)=b$ et $\lim_{x\to b}f(x)=c$, alors $\lim_{x\to a}f\circ g(x)=c$.

Compléments

📌 La composition n’est généralement pas commutative : pour $f(x)=2x+1$ et $g(x)=e^x$, $f\circ g(x)=2e^x+1$ tandis que $g\circ f(x)=e^{2x+1}$.

• La composition permet de conclure que $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac1x+3}=\sqrt3$, car $\frac1x+3$ tend vers 3 et la racine carrée tend vers $\sqrt3$ en 3.

• Pour $f(x)=4x^2+1$ et $g(x)=x^3$, $g\circ f(x)=(4x^2+1)^3$ tend vers +∞ quand x tend vers +∞ et vers +∞ quand x tend vers −∞.

📖 6. Comparaison et théorème des gendarmes

★ À maîtriser

📌 Si $f(x)\le g(x)$ sur un intervalle de la forme $[\alpha;+\infty[$ et si g tend vers +∞, alors f tend vers +∞.

📌 Si $f(x)\le g(x)\le h(x)$ et si f et h tendent vers le même réel ℓ, alors g tend vers ℓ.

Compléments

• Pour $f(x)=x+\cos(x)$, l’encadrement $x-1\le f(x)\le x+1$ entraîne que f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞.

• Pour $f(x)=x+\cos(x)$ et x>0, $1-\frac1x\le\frac{f(x)}x\le1+\frac1x$, donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=1$ par le théorème des gendarmes.

💡 Astuce mémo

g est coincée entre f et h, qui convergent vers le même ℓ.