QCM : Limites de fonctions (11 questions)

Question 1

1. Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ . Pour un réel $A$ choisi, quelle propriété décrit cette limite ?

À partir d’un certain seuil, toutes les valeurs de

f(x)

sont égales à

A

.

Toutes les valeurs de

f(x)

dépassent

A

, quelle que soit la valeur de

x

.

À partir d’un certain seuil, toutes les valeurs de

f(x)

sont inférieures à

A

.

À partir d’un certain seuil, toutes les valeurs de

f(x)

dépassent

A

.

Explication

Tendre vers $+\infty$ signifie que, pour tout réel $A$ , les valeurs de la fonction finissent par dépasser $A$ . Une limite égale à $A$ confond limite infinie et finie, une condition pour tout $x$ est trop forte, et des valeurs inférieures à $A$ inversent l’inégalité.

Answer

À partir d’un certain seuil, toutes les valeurs de $$f(x)$$ dépassent $$A$$.

Question 2

2. Quand $x$ devient arbitrairement grand et positif, vers quelle limite tend $x^5$ ?

+\infty

-\infty

0

5

Explication

Pour tout entier naturel non nul $n$ , la puissance $x^n$ tend vers $+\infty$ lorsque $x\to+\infty$ , donc c’est le cas de $x^5$ . La limite $-\infty$ concerne notamment une puissance impaire lorsque $x\to-\infty$ , tandis que zéro et cinq ne sont pas les limites de cette puissance.

Answer

$$+\infty$$

Question 3

3. Une fonction $f$ tend vers le réel $3$ lorsque $x\to+\infty$ . Quelle observation sur ses valeurs exprime cette limite ?

Ses valeurs dépassent tout réel donné dès que

x

est assez grand.

Ses valeurs sont égales à 3 dès que

x

est assez grand.

Pour tout intervalle ouvert contenant 3, ses valeurs y appartiennent dès que

x

est assez proche de 3.

Pour tout intervalle ouvert contenant 3, ses valeurs y appartiennent dès que

x

est assez grand.

Explication

Une limite finie en $+\infty$ signifie que toute valeur de $f(x)$ appartient à tout intervalle ouvert contenant 3 lorsque $x$ est suffisamment grand. Dépasser tout réel décrit une limite infinie, l’égalité exacte n’est pas requise, et être proche de 3 concerne le comportement près d’un réel fini.

Answer

Pour tout intervalle ouvert contenant 3, ses valeurs y appartiennent dès que $$x$$ est assez grand.

Question 4

4. La courbe d’une fonction vérifie $\lim_{x\to+\infty}f(x)=−2$ . Quelle droite est son asymptote horizontale en $+\infty$ ?

La droite d’équation

x=2

.

La droite d’équation

y=2

.

La droite d’équation

y=−2

.

La droite d’équation

x=−2

.

Explication

Si la limite de $f$ en $+\infty$ est $\ell$ , l’asymptote horizontale correspondante a pour équation $y=\ell$ , ici $y=−2$ . Une équation en $x$ décrit une droite verticale, et $y=2$ prend l’opposé de la limite.

Answer

La droite d’équation $$y=−2$$.

Question 5

5. Quand une fonction tend vers $+$ ou $-$ lorsque $x$ s’approche de $a$ par la droite ou par la gauche, quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

La droite d’équation

y=0

La droite d’équation

x=a

La droite d’équation

x=0

La droite d’équation

y=a

Explication

Une limite infinie en $a$ , à droite ou à gauche, caractérise la droite verticale d’équation $x=a$ comme asymptote. La droite $y=a$ est horizontale et ne décrit pas cette asymptote verticale.

Answer

La droite d’équation $$x=a$$

Question 6

6. Pour la somme de deux fonctions dont les limites valent respectivement $L$ et $L'$ , quelle est la limite de leur somme ?

L+L'

, la somme des deux limites

Une forme indéterminée, quel que soit le choix de

L

et

L'

\frac{L}{L'}

, le quotient des deux limites

L\times L'

, le produit des deux limites

Explication

Lorsque les deux limites sont finies, la limite de la somme est la somme de ces limites. Le produit des limites concerne le calcul d’une limite de produit, et non d’une somme.

Answer

$$L+L'$$, la somme des deux limites

Question 7

7. Quel rôle joue la limite intermédiaire $b$ dans le calcul de la limite d’une fonction composée lorsque $x$ tend vers $a$ ?

Elle donne directement la limite de

f(x)

lorsque

x

tend vers

a

.

Elle garantit que les fonctions

f

et

g

sont commutatives.

Elle relie la limite de

g(x)

en

a

au point où l’on évalue la limite de

f

.

Elle indique que la limite de

f(g(x))

est toujours infinie.

Explication

Si $g(x)$ tend vers $b$ lorsque $x$ tend vers $a$ , la limite de $f$ doit être étudiée en $b$ pour conclure sur $f(g(x))$ . La limite de $f$ en $a$ ne suffit pas, car l’entrée de $f$ dans la composée est $g(x)$ .

Answer

Elle relie la limite de $$g(x)$$ en $$a$$ au point où l’on évalue la limite de $$f$$.

Question 8

8. En quoi le théorème des gendarmes diffère-t-il du principe de comparaison qui permet de conclure qu’une fonction tend vers $+\infty$ ?

Le théorème des gendarmes compare deux fonctions de limites différentes, tandis que le principe de comparaison requiert une fonction encadrée entre elles.

Le théorème des gendarmes encadre la fonction par deux fonctions ayant la même limite finie, tandis que le principe de comparaison utilise une majoration qui tend vers

+\infty

.

Le théorème des gendarmes encadre la fonction par deux fonctions tendant vers

+\infty

, tandis que le principe de comparaison exige une borne inférieure finie.

Le théorème des gendarmes utilise une majoration tendant vers

+\infty

, tandis que le principe de comparaison exige deux bornes ayant la même limite finie.

Explication

Le théorème des gendarmes conclut à une limite finie lorsque la fonction est encadrée par deux fonctions qui tendent vers ce même réel. Le principe de comparaison vers $+\infty$ s’appuie plutôt sur une majoration de la fonction qui tend vers $+\infty$ .

Answer

Le théorème des gendarmes encadre la fonction par deux fonctions ayant la même limite finie, tandis que le principe de comparaison utilise une majoration qui tend vers $$+\infty$$.

Question 9

9. Pour $f(x)=x+\cos(x)$ , pourquoi peut-on conclure que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x\to+\infty$ ?

Parce que

f(x)

est majorée par

x+1

, qui tend vers

+\infty

.

Parce que

\cos(x)

tend vers

+\infty

lorsque

x\to+\infty

.

Parce que

f(x)

est minorée par

x-1

, qui tend vers

+\infty

.

Parce que

f(x)

est comprise entre deux fonctions qui tendent vers zéro.

Explication

Comme $\cos(x)\ge -1$ , on a $x-1\le f(x)$ , et la minoration par une fonction qui tend vers $+\infty$ entraîne que $f(x)$ tend aussi vers $+\infty$ . La majoration par $x+1$ ne suffit pas, à elle seule, à établir cette conclusion.

Answer

Parce que $$f(x)$$ est minorée par $$x-1$$, qui tend vers $$+\infty$$.

Question 10

10. Pour déterminer le comportement de $f(x)=x^4$ lorsque $x\to+\infty$ , quelle limite peut-on conclure directement ?

La fonction tend vers

-\infty

, car l’exposant pair inverse le signe de

x

.

La fonction tend vers

4

, car l’exposant détermine la valeur limite de la puissance.

La fonction tend vers

+\infty

, car une puissance entière positive de

x

diverge ainsi en

+\infty

.

La fonction tend vers

0

, car les puissances de

x

s’atténuent lorsque

x

grandit.

Explication

Toute puissance $x^n$ avec un entier naturel non nul tend vers $+\infty$ lorsque $x\to+\infty$ , ce qui s’applique à $x^4$ . L’exposant pair ne fait pas tendre la fonction vers $-\infty$ ; il donne notamment des valeurs positives pour $x\ne0$ .

Answer

La fonction tend vers $$+\infty$$, car une puissance entière positive de $$x$$ diverge ainsi en $$+\infty$$.

Question 11

11. Quelle propriété caractérise une limite finie $\ell$ de $f$ lorsque $x\to+\infty$ ?

Les valeurs de

f(x)

dépassent tout réel dès que

x

est suffisamment grand.

Les valeurs de

f(x)

deviennent égales à

\ell

dès que

x

est suffisamment grand.

Les valeurs de

f(x)

appartiennent à tout intervalle ouvert contenant

\ell

dès que

x

est suffisamment grand.

La courbe de

f

se rapproche de la droite verticale d’équation

x=\ell

lorsque

x

est suffisamment grand.

Explication

Une limite finie signifie que, pour tout intervalle ouvert contenant $\ell$ , les valeurs de la fonction finissent par appartenir à cet intervalle. Dépasser tout réel décrit plutôt une limite égale à $+\infty$ .

Answer

Les valeurs de $$f(x)$$ appartiennent à tout intervalle ouvert contenant $$\ell$$ dès que $$x$$ est suffisamment grand.

QCM : Limites de fonctions (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ . Pour un réel $A$ choisi, quelle propriété décrit cette limite ?

2. Quand $x$ devient arbitrairement grand et positif, vers quelle limite tend $x^5$ ?

3. Une fonction $f$ tend vers le réel $3$ lorsque $x\to+\infty$ . Quelle observation sur ses valeurs exprime cette limite ?

4. La courbe d’une fonction vérifie $\lim_{x\to+\infty}f(x)=−2$ . Quelle droite est son asymptote horizontale en $+\infty$ ?

5. Quand une fonction tend vers $+$ ou $-$ lorsque $x$ s’approche de $a$ par la droite ou par la gauche, quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

6. Pour la somme de deux fonctions dont les limites valent respectivement $L$ et $L'$ , quelle est la limite de leur somme ?

7. Quel rôle joue la limite intermédiaire $b$ dans le calcul de la limite d’une fonction composée lorsque $x$ tend vers $a$ ?

8. En quoi le théorème des gendarmes diffère-t-il du principe de comparaison qui permet de conclure qu’une fonction tend vers $+\infty$ ?

9. Pour $f(x)=x+\cos(x)$ , pourquoi peut-on conclure que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x\to+\infty$ ?

10. Pour déterminer le comportement de $f(x)=x^4$ lorsque $x\to+\infty$ , quelle limite peut-on conclure directement ?

11. Quelle propriété caractérise une limite finie $\ell$ de $f$ lorsque $x\to+\infty$ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Nomenclature des composés organiques

Suites et raisonnement par récurrence

Propriétés et manipulation de l’ADN

Structure et propriétés de l’ADN

Synchronie mère-nourrisson et facteurs associés

Développement moteur et socio-affectif

Crée tes propres QCM

QCM : Limites de fonctions (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction fff vérifie lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\inftylimx→+∞​f(x)=+∞. Pour un réel AAA choisi, quelle propriété décrit cette limite ?

2. Quand xxx devient arbitrairement grand et positif, vers quelle limite tend x5x^5x5 ?

3. Une fonction fff tend vers le réel 333 lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞. Quelle observation sur ses valeurs exprime cette limite ?

4. La courbe d’une fonction vérifie lim⁡x→+∞f(x)=−2\lim_{x\to+\infty}f(x)=−2limx→+∞​f(x)=−2. Quelle droite est son asymptote horizontale en +∞+\infty+∞ ?

5. Quand une fonction tend vers +++ ou −-− lorsque xxx s’approche de aaa par la droite ou par la gauche, quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

6. Pour la somme de deux fonctions dont les limites valent respectivement LLL et L′L'L′, quelle est la limite de leur somme ?

7. Quel rôle joue la limite intermédiaire bbb dans le calcul de la limite d’une fonction composée lorsque xxx tend vers aaa ?

8. En quoi le théorème des gendarmes diffère-t-il du principe de comparaison qui permet de conclure qu’une fonction tend vers +∞+\infty+∞ ?

9. Pour f(x)=x+cos⁡(x)f(x)=x+\cos(x)f(x)=x+cos(x), pourquoi peut-on conclure que f(x)f(x)f(x) tend vers +∞+\infty+∞ lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞ ?

10. Pour déterminer le comportement de f(x)=x4f(x)=x^4f(x)=x4 lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞, quelle limite peut-on conclure directement ?

11. Quelle propriété caractérise une limite finie ℓ\ellℓ de fff lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Nomenclature des composés organiques

Suites et raisonnement par récurrence

Propriétés et manipulation de l’ADN

Structure et propriétés de l’ADN

Synchronie mère-nourrisson et facteurs associés

Développement moteur et socio-affectif

Crée tes propres QCM

1. Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ . Pour un réel $A$ choisi, quelle propriété décrit cette limite ?

2. Quand $x$ devient arbitrairement grand et positif, vers quelle limite tend $x^5$ ?

3. Une fonction $f$ tend vers le réel $3$ lorsque $x\to+\infty$ . Quelle observation sur ses valeurs exprime cette limite ?

4. La courbe d’une fonction vérifie $\lim_{x\to+\infty}f(x)=−2$ . Quelle droite est son asymptote horizontale en $+\infty$ ?

5. Quand une fonction tend vers $+$ ou $-$ lorsque $x$ s’approche de $a$ par la droite ou par la gauche, quelle droite est une asymptote verticale à sa courbe ?

6. Pour la somme de deux fonctions dont les limites valent respectivement $L$ et $L'$ , quelle est la limite de leur somme ?

7. Quel rôle joue la limite intermédiaire $b$ dans le calcul de la limite d’une fonction composée lorsque $x$ tend vers $a$ ?

8. En quoi le théorème des gendarmes diffère-t-il du principe de comparaison qui permet de conclure qu’une fonction tend vers $+\infty$ ?

9. Pour $f(x)=x+\cos(x)$ , pourquoi peut-on conclure que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x\to+\infty$ ?

10. Pour déterminer le comportement de $f(x)=x^4$ lorsque $x\to+\infty$ , quelle limite peut-on conclure directement ?

11. Quelle propriété caractérise une limite finie $\ell$ de $f$ lorsque $x\to+\infty$ ?