QCM : Suites et raisonnement par récurrence (19 questions)

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel un réel. Les réponses faisant intervenir ℝ comme domaine ou ℕ comme ensemble des valeurs inversent ou modifient cette définition.

Explication

Une formule explicite donne directement $u_n$ en fonction de l’indice n. Utiliser le terme précédent correspond à une récurrence, tandis que remplacer n par $u_n$ confond indice et terme.

Explication

La récurrence calcule chaque terme à partir du précédent et nécessite donc un terme initial. Une formule explicite donnerait directement chaque terme, tandis que la règle seule ne fixe pas le point de départ.

Explication

Une suite est croissante à partir du rang 5 lorsque chaque terme d’indice $n\geq5$ est inférieur ou égal au suivant. L’inégalité inversée caractériserait une suite décroissante; la condition ne porte pas ici sur tous les rangs.

Explication

Le critère donne une croissance si la différence est positive ou nulle pour tout n, et une décroissance si elle est négative ou nulle pour tout n. Ici, $5-2n$ est positive pour certains indices et négative pour d’autres; elle ne permet donc aucune de ces conclusions globales.

Explication

Lorsque $u_n=f(n)$ et que f est décroissante sur l’intervalle considéré, la suite est décroissante. La croissance de f donnerait le sens opposé; une formule de récurrence n’est pas en jeu ici.

Explication

Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est une constante r ; ici, cette différence vaut 6. La raison géométrique supposerait un quotient constant, « chaque terme vaut 6 » confond la raison avec les termes, et la relation inversée ne décrit pas l’ajout de 6.

Explication

Une suite arithmétique de raison négative est décroissante, car chaque terme est inférieur au précédent. Une raison négative n’indique pas une croissance ; le signe du premier terme ne détermine pas le sens de variation, et une suite constante aurait une raison nulle.

Explication

Une suite est géométrique si chaque terme est le produit du terme précédent par une constante q ; ici, q vaut 4. Une différence constante caractériserait une suite arithmétique, le facteur 4 n’est pas nécessairement le premier terme, et la relation inversée ne correspond pas à la règle donnée.

Explication

Pour q différent de 1, la somme vaut $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ; avec q=2 et n=5, on obtient $\frac{1-2^6}{1-2}=63$. Le résultat 31 correspond à un exposant final mal traité, 126 vient d’une erreur de calcul du quotient, et 64 correspond au seul terme $2^6$ plutôt qu’à la somme.

Explication

Une suite est arithmético-géométrique lorsque sa récurrence s’écrit $u_{n+1}=au_n+b$ pour deux nombres constants. Une différence constante caractérise une suite arithmétique, un quotient constant une suite géométrique, et les coefficients n’ont pas à être positifs.

Explication

Le décalage par le point fixe $1000$ élimine le terme ajouté : $v_n=u_n-1000$ vérifie $v_{n+1}=0,8v_n$, avec $v_0=500-1000=-500$. Le signe positif ne supprime pas le terme constant, tandis que les autres décalages ne produisent pas la transformation géométrique recherchée.

Explication

Un majorant $M$ doit être supérieur ou égal à chaque terme de la suite, donc $u_n\leq M$ pour tout $n\in\mathbb N$. L’inégalité inversée définit un minorant, et une vérification sur un seul terme ou à partir d’un rang ne suffit pas à établir cette propriété.

Explication

Un minorant est inférieur ou égal à chacun des termes, ce qui s’écrit $m\leq u_n$ pour tout $n\in\mathbb N$. L’inégalité opposée correspond à une majoration, tandis qu’un seul terme ou une inégalité stricte ne donne pas la définition générale demandée.

Explication

Une suite est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée. La majoration ou la minoration prise isolément ne suffit pas, et le fait d’être bornée n’affirme pas à lui seul la convergence.

Explication

L’initialisation en 4 et l’hérédité pour chaque rang supérieur ou égal à 4 assurent la vérité de la propriété pour tout $n\geq4$. La restriction aux rangs pairs confond récurrence et progression par pas de deux ; l’exclusion de 4 néglige l’initialisation ; la conclusion limitée à 4 et 5 ne propage pas l’hérédité.

Explication

L’hérédité établit le passage de la vérité de la propriété au rang $k$ à sa vérité au rang $k+1$. L’initialisation vérifie le rang de départ, la conclusion généralise le résultat, et vérifier quelques rangs ne remplace pas le passage héréditaire.

Explication

Comme $-1<-0,7<1$, la puissance tend vers 0. La limite $+\infty$ correspond à une base supérieure à 1 ; la limite 1 correspond à une base égale à 1 ; l’absence de limite concerne ici les bases inférieures ou égales à -1.

Explication

L’observation des termes pour des indices croissants permet de conjecturer l’existence d’une limite, sans constituer à elle seule une démonstration. Une liste finie ne donne pas nécessairement la valeur exacte et une tendance apparente ne prouve pas la monotonie.