Fiche de révision : Suites et raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définition et génération des suites
2. Variations des suites numériques
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Suites arithmético-géométriques
6. Suites majorées et bornées
7. Raisonnement par récurrence
8. Limites des suites

📖 1. Définition et génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur ℕ à valeurs dans ℝ.

★ À maîtriser

📌 Une formule explicite définit chaque terme par une relation de la forme $u_n=f(n)$, où f est définie sur [0 ; +∞[ et n est un entier naturel.

📌 Une formule de récurrence définit le terme suivant par $u_{n+1}=f(u_n)$ et nécessite la donnée d’un terme initial, par exemple $u_0$.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_n=n^2-2n$, les quatre premiers termes sont $u_0=0$, $u_1=-1$, $u_2=0$ et $u_3=3$.

📖 2. Variations des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite telle que, pour tout entier n ≥ k, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Suite telle que, pour tout entier n ≥ k, $u_{n+1}\leq u_n$.

★ À maîtriser

📌 Si $u_{n+1}-u_n\geq 0$ pour tout entier naturel n, alors la suite est croissante ; si $u_{n+1}-u_n\leq 0$ pour tout entier naturel n, elle est décroissante.

Compléments

📌 Si $u_n=f(n)$ et si f est croissante (respectivement décroissante) sur [0 ; +∞[, alors la suite est croissante (respectivement décroissante).

📌 Pour une suite dont tous les termes sont strictement positifs, $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ implique qu’elle est croissante, tandis que $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ implique qu’elle est décroissante.

• Pour $v_n=\frac{1}{n(n+1)}$ sur ℕ*, le rapport $\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{n}{n+2}<1$ pour n ≥ 1, donc la suite est décroissante.

• Pour $v_{n+1}=v_n+2n-9$, on a $v_{n+1}-v_n=2n-9$ et la suite est croissante à partir de n=5.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite pour laquelle il existe un réel r, appelé raison, tel que $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout entier naturel n.

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique de raison r est croissante si r>0 et décroissante si r<0.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite arithmétique et tous entiers naturels n et p, $u_n=u_p+(n-p)r$.

📐 Formule - Pour tout entier naturel n non nul, $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

• La suite arithmétique de premier terme 7 et de raison −2 vérifie $u_n=7-2n$ et ses dix premiers termes, de u₀ à u₉, ont pour somme −20.

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite pour laquelle il existe un réel q, appelé raison, tel que $u_{n+1}=u_nq$ pour tout entier naturel n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour q réel différent de 1, $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite géométrique et tous entiers naturels n et p, $u_n=u_pq^{n-p}$.

📌 Pour une suite géométrique de premier terme non nul et de raison q>0, elle est croissante si q>1 et décroissante si 0<q<1 ; si q=1, elle est constante.

📌 Si q≤0, une suite géométrique n’est pas monotone, comme l’illustre $u_n=(-2)^n$.

• La suite géométrique de premier terme 8 et de raison 1/2 est décroissante et la somme de ses dix premiers termes vaut environ 15,98.

📖 5. Suites arithmético-géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique s’il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=au_n+b$.

★ À maîtriser

• Pour transformer cette suite en suite géométrique, on pose $v_n=u_n-1000$ ; alors $v_{n+1}=0{,}8v_n$ et $v_0=-500$.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_{n+1}=0{,}8u_n+200$ et $u_0=500$, on obtient $u_1=600$ et $u_2=680$.

📌 La suite définie par $u_{n+1}=0{,}8u_n+200$ et $u_0=500$ n’est ni arithmétique ni géométrique : ses deux premières différences sont 100 et 80, et ses deux premiers rapports sont 1,2 et 1,13.

📐 Formule - La suite transformée vérifie $v_n=-500\times0{,}8^n$ et la suite initiale vérifie $u_n=1000-500\times0{,}8^n$.

📖 6. Suites majorées et bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite $(u_n)$ est majorée par un réel $M$ si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\leq M$ ; $M$ est alors un majorant de la suite.
• Suite minorée : Une suite $(u_n)$ est minorée par un réel $m$ si, pour tout $n\in\mathbb N$, $m\leq u_n$ ; $m$ est alors un minorant de la suite.
• Suite bornée : Suite à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Pour montrer que $u_n\leq M$ pour tout $n\in\mathbb N$, on peut montrer que $u_n-M\leq0$ pour tout $n\in\mathbb N$.

• Pour $n\geq1$, la suite définie par $u_n=\frac{3-n}{2+n}$ est comprise entre $-1$ et $2$, car $u_n+1=\frac{5}{2+n}>0$ et $u_n-2=\frac{-1-3n}{2+n}<0$.

💡 Astuce mémo

Un majorant borne par le haut ; un minorant borne par le bas.

📖 7. Raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

📌 Si une propriété est vraie pour un entier naturel $n_0$ et si sa vérité pour un entier $k\geq n_0$ entraîne sa vérité pour $k+1$, alors elle est vraie pour tout entier supérieur ou égal à $n_0$.

• Une démonstration par récurrence comporte trois étapes : l’initialisation vérifie la propriété pour $n_0$, l’hérédité démontre que sa vérité pour $k\geq n_0$ entraîne sa vérité pour $k+1$, puis la conclusion établit qu’elle est vraie pour tout $n\geq n_0$.

Compléments

• Pour démontrer par récurrence une égalité définissant une suite, on part de la relation de récurrence et on y remplace le terme précédent par l’expression supposée vraie à l’étape d’hérédité.

• Pour la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2}$, les premiers termes conduisent à conjecturer puis à démontrer par récurrence que $u_n=\sqrt n$ pour tout $n\in\mathbb N$.

📌 Si $f$ est croissante sur un intervalle $I$ et si $a,b\in I$ vérifient $a\leq b$, alors $f(a)\leq f(b)$.

• Pour démontrer par récurrence une inégalité entre termes définis par $u_{n+1}=f(u_n)$, on utilise l’inégalité de l’hypothèse de récurrence et la croissance de $f$ pour établir l’inégalité au rang suivant.

💡 Astuce mémo

Initialisation, hérédité, conclusion : on vérifie le départ, puis le passage au suivant.

📖 8. Limites des suites

★ À maîtriser

📌 Pour un réel $q$, si $q>1$, alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$ ; si $q=1$, cette limite vaut 1 ; si $-1<q<1$, elle vaut 0 ; et si $q\leq-1$, la suite $(q^n)$ n’admet pas de limite.

Compléments

• Observer les termes d’une suite pour des valeurs de $n$ de plus en plus grandes permet de conjecturer l’existence de sa limite.

• Pour $u_n=3\times0{,}4^n$, on conjecture que la suite tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+ fty$ ; les annotations indiquent $n\geq9$ pour $0<u_n<10^{-3}$ et $n\geq17$ pour $0<u_n<10^{-6}$.

• Pour $v_n=-n^2+2n+3$, on conjecture que la suite tend vers $-\infty$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ; les annotations indiquent $n\geq12$ pour $v_n<-100$ et $n\geq33$ pour $v_n<-1000$.

• La suite définie par $v_n=1+2\times0{,}99^n$ tend vers 1 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

• La suite définie par $w_n=5\times1{,}99^n+12$ tend vers $+\infty$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

• La suite définie par $z_n=8+\sqrt3\left(-\frac78\right)^n$ tend vers 8 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.