Fiche de révision : Nombre dérivé d’une fonction

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation et sécante
2. Définition du nombre dérivé
3. Calcul et interprétation du nombre dérivé
4. Cas de non-dérivabilité en zéro

📖 1. Taux de variation et sécante

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Quotient de $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
• Droite sécante : La droite sécante à la courbe C_f passant par A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) a pour coefficient directeur le taux de variation de f entre a et b.

📝 Points essentiels

• Pour f(x) = 2x² - 10, le taux de variation entre 3 et 5 vaut 16, car f(3) = 8 et f(5) = 40.

💡 Astuce mémo

Deux points A et B reliés par une droite sécante, dont la pente mesure le taux de variation.

📖 2. Définition du nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : Fonction telle que le taux de variation entre a et a+h admet une limite finie lorsque h tend vers 0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Lorsque f est dérivable en a, son nombre dérivé vérifie $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

💡 Astuce mémo

Quand h tend vers 0, le taux de variation tend vers une limite finie : cette limite est le nombre dérivé.

📖 3. Calcul et interprétation du nombre dérivé

★ À maîtriser

• Pour déterminer un nombre dérivé avec la définition, on calcule f(a), f(a+h), leur différence divisée par h, puis la limite du quotient lorsque h tend vers 0.

• Pour f(x)=x² en a=1, le quotient différentiel se simplifie en 2+h et sa limite vaut 2, donc f est dérivable en 1 et f'(1)=2.

Compléments

• En cinématique, le nombre dérivé correspond à la vitesse instantanée.

💡 Astuce mémo

Calculer f(a), f(a+h), le quotient, puis sa limite.

📖 4. Cas de non-dérivabilité en zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction valeur absolue : Fonction qui associe à tout réel x sa distance à zéro et vérifie |x|=x si x>0 et |x|=-x si x<0.

📝 Points essentiels

📌 La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0, car son quotient différentiel en 0 vaut $\frac{1}{\sqrt h}$ et tend vers +∞ lorsque h tend vers 0 par valeurs positives.

📌 La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0, car son quotient différentiel vaut -1 lorsque h<0 et 1 lorsque h>0, ce qui donne deux limites différentes.

💡 Astuce mémo

La racine carrée diverge vers +∞ en 0, tandis que la valeur absolue donne deux limites différentes.

📊 Tableaux de synthèse

Deux fonctions non dérivables en zéro