Fiche de révision : Nombre dérivé et tangentes

📋 Plan du Cours

1. Taux d’accroissement et nombre dérivé
2. Calcul du nombre dérivé
3. Tangente et représentation graphique
4. Non-dérivabilité en zéro

📖 1. Taux d’accroissement et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement de f entre a et a+h, avec h ≠ 0, est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux d’accroissement de f entre a et a+h lorsque h tend vers 0, si cette limite existe.

★ À maîtriser

• Graphiquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.

Compléments

• Si f'(a)=0, la tangente à la courbe au point d’abscisse a est horizontale.

📖 2. Calcul du nombre dérivé

★ À maîtriser

• Pour f(x)=x²+4x, le taux d’accroissement entre 1 et 1+h se simplifie en 6+h, puis sa limite lorsque h tend vers 0 donne f'(1)=6.

Compléments

• Pour f(x)=x²+4x, le point de la courbe d’abscisse 1 a pour ordonnée f(1)=5.

• La tangente à la courbe de f(x)=x²+4x au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur 6.

📖 3. Tangente et représentation graphique

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

• Comme g(3)=4 et g'(3)=-1, la tangente à la courbe de g en x=3 a pour équation y=-x+7.

Compléments

• Pour g(x)=-x²+5x-2, les valeurs sont g(1)=2, g(2)=4, g(3)=4 et g(4)=2.

• Le point de tangence de la courbe de g et de sa tangente a pour coordonnées (3,4).

📖 4. Non-dérivabilité en zéro

📝 Points essentiels

• Pour k(x)=√x, le taux d’accroissement en 0 pour h>0 vaut $\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$ et tend vers +∞ lorsque h tend vers 0 par valeurs positives.

• La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 et sa courbe admet en ce point une tangente verticale.

• La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0 et sa courbe présente un point anguleux à cette abscisse.

💡 Astuce mémo

La racine carrée mène à une tangente verticale, tandis que la valeur absolue forme un point anguleux.