QCM : Nombre dérivé et tangentes (8 questions)

Question 1

1. Pour une fonction définie en $a$ et $a+h$ , avec $h\neq 0$ , quelle expression calcule le taux d’accroissement entre ces deux abscisses ?

\frac{f(a)-f(h)}{h}

\frac{f(a+h)+f(a)}{h}

f'(a)\times h

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Explication

Le taux d’accroissement est la variation des images, $f(a+h)-f(a)$ , divisée par la variation des abscisses, $h$ . L’addition des images, l’emploi de $f(h)$ et le produit par le nombre dérivé correspondent à d’autres expressions.

Answer

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Question 2

2. Sur le graphique d’une fonction, la tangente au point d’abscisse $-2$ a pour équation $y=3x+1$ . Quelle valeur représente $f'(-2)$ ?

3

-5

1

-2

Explication

Le nombre dérivé en une abscisse est le coefficient directeur de la tangente en ce point ; pour $y=3x+1$ , ce coefficient vaut $3$ . $1$ est l’ordonnée à l’origine, $-2$ est l’abscisse considérée et $-5$ serait l’ordonnée sur cette tangente à $x=-2$ .

Answer

L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $$a$$

Answer

$$\frac{1}{\sqrt{h}}$$

Answer

Il donne la limite du taux d’accroissement lorsque $$h$$ tend vers zéro, si cette limite existe.

Answer

Il vaut $$6+h$$, donc sa limite lorsque $$h$$ tend vers $$0$$ est $$6$$.

Question 3

3. Pour $f(x)=x^2+4x$ , le taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ vaut $6+h$ . Quelle est la valeur de $f'(1)$ ?

5

1

7

6

Explication

Le nombre dérivé est la limite du taux d’accroissement lorsque $h$ tend vers $0$ : $\lim_{h\to 0}(6+h)=6$ . $5$ est l’image $f(1)$ , tandis que $7$ correspond au taux pour $h=1$ et $1$ à l’incrément utilisé dans ce cas.

Question 4

4. Pour $f(x)=x^2+4x$ , quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ ?

5

8

1

6

Explication

Le coefficient directeur de la tangente en $x=1$ est le nombre dérivé $f'(1)$ , qui vaut $6$ . $5$ est l’ordonnée $f(1)$ , $8$ correspond au nombre dérivé en $x=2$ pour cette fonction, et $1$ est simplement l’abscisse du point.

Question 5

5. Que représente l’équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ pour une fonction dérivable en $a$ ?

L’équation de la droite passant par l’origine et le point de la courbe d’abscisse

a

L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse

f(a)

L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse

a

L’équation de la normale à la courbe au point d’abscisse

a

Explication

Cette formule donne la tangente au point de la courbe de coordonnées $(a,f(a))$ , avec pour pente le nombre dérivé $f'(a)$ . La normale est une droite perpendiculaire à cette tangente, et son équation ne découle pas directement de cette formule.

Question 6

6. Pour $k(x)=\sqrt{x}$ , quelle expression donne son taux d’accroissement en $0$ lorsque $h>0$ ?

\sqrt{h}

h\sqrt{h}

\frac{1}{h}

\frac{1}{\sqrt{h}}

Explication

En partant de $k(0)=0$ , le taux d’accroissement vaut $\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$ pour $h>0$ . L’expression $\sqrt{h}$ correspond à la variation de la fonction, mais pas à cette variation divisée par $h$ .

Question 7

7. Quel rôle joue le nombre dérivé $f'(a)$ dans l’étude locale d’une fonction en $a$ ?

Il indique l’abscisse où la fonction atteint un maximum ou un minimum local.

Il mesure la variation de la fonction entre deux abscisses distinctes, sans passage à la limite.

Il donne la limite du taux d’accroissement lorsque

h

tend vers zéro, si cette limite existe.

Il donne la valeur de la fonction en

a

lorsque la limite du taux d’accroissement existe.

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est défini comme la limite du taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers zéro, à condition que cette limite existe. La valeur $f(a)$ est l’image de $a$ et ne décrit pas cette limite de variation.

Question 8

8. Pour $f(x)=x^2+4x$ , comment le taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ permet-il de déterminer $f'(1)$ ?

Il vaut

4+h

, donc sa limite lorsque

h

tend vers

0

est

4

.

Il vaut

6+h

, donc sa limite lorsque

h

tend vers

0

est

6

.

Il vaut

6h

, donc sa limite lorsque

h

tend vers

0

est

0

.

Il vaut

5+h

, donc sa limite lorsque

h

tend vers

0

est

5

.

Explication

Le taux d’accroissement se simplifie en $6+h$ et tend vers $6$ quand $h$ tend vers $0$ , ce qui donne le nombre dérivé en $1$ . La valeur $5$ correspond à $f(1)$ , l’ordonnée du point, et non à la limite du taux d’accroissement.

QCM : Nombre dérivé et tangentes (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie en $a$ et $a+h$ , avec $h\neq 0$ , quelle expression calcule le taux d’accroissement entre ces deux abscisses ?

2. Sur le graphique d’une fonction, la tangente au point d’abscisse $-2$ a pour équation $y=3x+1$ . Quelle valeur représente $f'(-2)$ ?

3. Pour $f(x)=x^2+4x$ , le taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ vaut $6+h$ . Quelle est la valeur de $f'(1)$ ?

4. Pour $f(x)=x^2+4x$ , quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ ?

5. Que représente l’équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ pour une fonction dérivable en $a$ ?

6. Pour $k(x)=\sqrt{x}$ , quelle expression donne son taux d’accroissement en $0$ lorsque $h>0$ ?

7. Quel rôle joue le nombre dérivé $f'(a)$ dans l’étude locale d’une fonction en $a$ ?

8. Pour $f(x)=x^2+4x$ , comment le taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ permet-il de déterminer $f'(1)$ ?

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QCM : Nombre dérivé et tangentes (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie en aaa et a+ha+ha+h, avec h≠0h\neq 0h=0, quelle expression calcule le taux d’accroissement entre ces deux abscisses ?

2. Sur le graphique d’une fonction, la tangente au point d’abscisse −2-2−2 a pour équation y=3x+1y=3x+1y=3x+1. Quelle valeur représente f′(−2)f'(-2)f′(−2) ?

3. Pour f(x)=x2+4xf(x)=x^2+4xf(x)=x2+4x, le taux d’accroissement entre 111 et 1+h1+h1+h vaut 6+h6+h6+h. Quelle est la valeur de f′(1)f'(1)f′(1) ?

4. Pour f(x)=x2+4xf(x)=x^2+4xf(x)=x2+4x, quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 111 ?

5. Que représente l’équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)y=f′(a)(x−a)+f(a) pour une fonction dérivable en aaa ?

6. Pour k(x)=xk(x)=\sqrt{x}k(x)=x​, quelle expression donne son taux d’accroissement en 000 lorsque h>0h>0h>0 ?

7. Quel rôle joue le nombre dérivé f′(a)f'(a)f′(a) dans l’étude locale d’une fonction en aaa ?

8. Pour f(x)=x2+4xf(x)=x^2+4xf(x)=x2+4x, comment le taux d’accroissement entre 111 et 1+h1+h1+h permet-il de déterminer f′(1)f'(1)f′(1) ?

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2. Sur le graphique d’une fonction, la tangente au point d’abscisse $-2$ a pour équation $y=3x+1$ . Quelle valeur représente $f'(-2)$ ?

3. Pour $f(x)=x^2+4x$ , le taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ vaut $6+h$ . Quelle est la valeur de $f'(1)$ ?

4. Pour $f(x)=x^2+4x$ , quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ ?

5. Que représente l’équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ pour une fonction dérivable en $a$ ?

6. Pour $k(x)=\sqrt{x}$ , quelle expression donne son taux d’accroissement en $0$ lorsque $h>0$ ?

7. Quel rôle joue le nombre dérivé $f'(a)$ dans l’étude locale d’une fonction en $a$ ?

8. Pour $f(x)=x^2+4x$ , comment le taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ permet-il de déterminer $f'(1)$ ?