Flashcards : Nombres complexes — 68 cartes

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1Question

Quelle relation vérifie le nombre imaginaire $i$ ?

Réponse

$i^2=-1$ .

2Question

Quelle est la nature du nombre imaginaire $i$ en termes de signe ?

Réponse

Il n’est ni positif ni négatif.

3Question

Comment s’appelle la partie $x$ dans $z=x+iy$ ?

Réponse

La partie réelle.

4Question

Comment s’appelle la partie $y$ dans $z=x+iy$ ?

Réponse

La partie imaginaire.

5Question

Que signifie l’égalité $x+iy=x'+iy'$ pour des réels ?

Réponse

$x=x'$ et $y=y'$ .

6Question

Quelle forme caractérise un imaginaire pur ?

Réponse

Un nombre complexe de la forme $iy$ avec $y\in\mathbb{R}$ .

7Question

Quelle condition sur $z$ exprime qu'il est un imaginaire pur ?

Réponse

Sa partie réelle $\operatorname{Re}(z)$ est nulle.

8Question

Comment s'écrit le conjugué de $z=x+iy$ ?

Réponse

$\overline{z} = x - iy$ .

9Question

Quelle est la formule du module de $z=x+iy$ ?

Réponse

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

10Question

Quelle est la formule de la somme de deux nombres complexes ?

Réponse

$(x+iy)+(x'+iy')=(x+x')+i(y+y')$

11Question

Quelle est la formule du produit de deux nombres complexes ?

Réponse

$(x+iy)(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$

12Question

Quelle est la formule de l'inverse de $x+iy\neq0$ ?

Réponse

$\frac{1}{x+iy}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$ .

13Question

Quelle opération réalise-t-on pour calculer un inverse ou un quotient ?

Réponse

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

14Question

Pourquoi multiplie-t-on par le conjugué du dénominateur ?

Réponse

Pour obtenir un dénominateur réel.

15Question

Quelle formule relie un complexe z à son conjugué et ses parties réelle et imaginaire ?

Réponse

$z\overline z=\operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2$

16Question

Comment s'exprime le module d'un complexe z avec son conjugué ?

Réponse

$|z|=\sqrt{z\overline z}$

17Question

Quelle condition caractérise un complexe z réel par rapport à son conjugué ?

Réponse

$z=\overline z$

18Question

Quelle condition caractérise un complexe z imaginaire pur par rapport à son conjugué ?

Réponse

$z=-\overline z$

19Question

Quelle relation multiplicative vérifie le module de deux complexes z et z' ?

Réponse

$|zz'|=|z||z'|$

20Question

Quelle relation vérifie le module du quotient de deux complexes z et z' non nul ?

Réponse

$\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$

21Question

Quelle est l'identité fondamentale de la trigonométrie pour tout réel x ?

Réponse

$\cos^2x + \sin^2x = 1$

22Question

Quelle est la formule d'addition pour $\cos(x+y)$ ?

Réponse

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

23Question

Quelle est la formule d'addition pour $\sin(x+y)$ ?

Réponse

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

24Question

Qu'est-ce qu'un argument d'un complexe non nul z = x + iy ?

Réponse

Un réel θ défini à 2π près avec cosθ = x/√(x²+y²) et sinθ = y/√(x²+y²).

25Question

Comment s'écrit un complexe non nul sous forme trigonométrique ?

Réponse

z = |z|(cosθ + i sinθ) avec θ = arg(z).

26Question

Quelle relation existe-t-il entre arg(zz') et les arguments de z et z' ?

Réponse

arg(zz') = arg(z) + arg(z') modulo 2π.

27Question

Quelle relation existe-t-il entre arg(z/z') et les arguments de z et z' ?

Réponse

arg(z/z') = arg(z) - arg(z') modulo 2π.

28Question

Qu'associe le plan complexe au complexe $z=x+iy$ ?

Réponse

Le point de coordonnées $(x,y)$ dans un repère orthonormé.

29Question

Quelle est la norme du vecteur $\overrightarrow{OM}$ image de $z$ ?

Réponse

Elle est égale au module $|z|$ .

30Question

Quel est l'angle de $\overrightarrow{OM}$ avec l'axe réel si $z\neq0$ ?

Réponse

Il vaut $\arg(z)\ [2\pi]$ .

31Question

Quelle est la définition de la notation exponentielle complexe ?

Réponse

$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$ .

32Question

Quelle relation vérifient les exponentielles complexes pour un produit ?

Réponse

$e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ .

33Question

Quelle est l'inverse de $e^{i\theta}$ en notation exponentielle ?

Réponse

$\frac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ .

34Question

Quelle est la formule de Moivre pour $(\cos\theta + i\sin\theta)^m$ ?

Réponse

$\cos(m\theta) + i\sin(m\theta)$ pour $m \in \mathbb{Z}$ .

35Question

Comment s'écrit un complexe non nul en forme exponentielle ?

Réponse

$z = |z| e^{i\theta}$ avec $\theta = \arg(z)$ .

36Question

Quelle est la somme $\sum_{k=0}^{n}q^k$ si $q=1$ ?

Réponse

La somme vaut $n+1$ .

37Question

Quelle est la formule de $\sum_{k=0}^{n}q^k$ si $q\neq1$ ?

Réponse

La somme vaut $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

38Question

Quelle est la formule du binôme de Newton pour $(a+b)^n$ ?

Réponse

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ .

39Question

Qu'est-ce qu'une racine carrée complexe de z ?

Réponse

Un complexe u tel que $u^2=z$ .

40Question

Combien de racines carrées complexes possède un complexe non nul ?

Réponse

Exactement deux racines carrées complexes.

41Question

Quelle relation existe entre les deux racines carrées complexes d'un complexe non nul ?

Réponse

Elles sont opposées l’une de l’autre.

42Question

Quelle méthode utilise-t-on pour chercher une racine carrée de $z=a+ib$ ?

Réponse

Poser $u=x+iy$ , développer $u^2$ et identifier parties réelle et imaginaire.

43Question

Quelle est la formule des solutions de $az^2+bz+c=0$ quand $a\neq0$ et $\Delta\neq0$ ?

Réponse

$z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$ avec $\Delta=b^2-4ac$ et $\delta^2=\Delta$ .

44Question

Que vaut $\Delta$ dans l'équation quadratique $az^2+bz+c=0$ ?

Réponse

$\Delta=b^2-4ac$ .

45Question

Qu'est-ce qu'une racine n-ième de l'unité ?

Réponse

Un complexe u tel que $u^n=1$ .

46Question

Quelle est la formule des n racines n-ièmes de l'unité ?

Réponse

$\omega_k=e^{2ik\pi/n}$ pour n valeurs entières consécutives de k.

47Question

Quelles sont les solutions de $u^n=z$ si $z=re^{i\theta}\neq0$ ?

Réponse

$u_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}$ pour n valeurs consécutives de k.

48Question

Quelle inclusion des ensembles numériques est correcte ?

Réponse

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

49Question

Quelle est la valeur du module de $3 - 2i$ ?

Réponse

$\sqrt{13}$ .

50Question

Comment s'exprime l'opposé d'un nombre complexe $x+iy$ ?

Réponse

$-(x+iy)=(-x)+i(-y)$

51Question

Quelle est la formule de la différence de deux nombres complexes ?

Réponse

$(x+iy)-(x'+iy')=(x-x')+i(y-y')$

52Question

Quel est le résultat du quotient $\frac{3-i}{1+2i}$ après multiplication par $1-2i$ ?

Réponse

$\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$ .

53Question

Quelle inégalité triangulaire relie les modules de deux complexes z et z' et de leur somme ?

Réponse

$\big||z|-|z'|\big|\leq|z+z'|\leq|z|+|z'|$

54Question

Quelle formule relie $\tan^2x$ et $\cos^2x$ pour $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ?

Réponse

$1 + \tan^2x = \frac{1}{\cos^2x}$

55Question

Quelle est la formule de duplication pour $\cos(2x)$ ?

Réponse

$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$

56Question

Quelle est la formule de duplication pour $\sin(2x)$ ?

Réponse

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$

57Question

Quelle est la relation entre l'argument du conjugué de z et arg(z) ?

Réponse

arg(ȳ) = -arg(z) modulo 2π.

58Question

Quelle est la relation entre l'argument de l'inverse de z et arg(z) ?

Réponse

arg(1/z) = -arg(z) modulo 2π.

59Question

Quelle condition caractérise la symétrie par rapport à l'origine entre $z$ et $z'$ ?

Réponse

$z'=-z$ .

60Question

Quelle condition caractérise la symétrie par rapport à l'axe réel entre $z$ et $z'$ ?

Réponse

$z'=\overline{z}$ .

61Question

Quelle est la formule d'Euler pour $\cos\theta$ ?

Réponse

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ .

62Question

Quelle est la formule d'Euler pour $\sin\theta$ ?

Réponse

$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ .

63Question

Comment s'exprime le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?

Réponse

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

64Question

Que se passe-t-il lorsque $\Delta=0$ pour une équation quadratique ?

Réponse

Elle possède une solution double.

65Question

Quelle est la solution double lorsque $\Delta=0$ dans $az^2+bz+c=0$ ?

Réponse

$z=-\frac{b}{2a}$ .

66Question

Quelle somme vérifient les n racines n-ièmes de l'unité ?

Réponse

$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0$ .

67Question

Quelles sont les racines cubiques de l'unité ?

Réponse

$1,j,j^2$ où $j=e^{2i\pi/3}$ .

68Question

Quelle relation vérifient les racines cubiques de l'unité ?

Réponse

$1+j+j^2=0$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 35 questions sur Nombres complexes.

1. Quelle propriété caractérise le nombre imaginaire $i$ ?

2. Pour le complexe $z=4-7i$ , quelles sont sa partie réelle et sa partie imaginaire ?

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