Fiche de révision : Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes algébriques
2. Conjugué et module
3. Calculs algébriques complexes
4. Inverse et quotient
5. Propriétés du conjugué et du module
6. Trigonométrie fondamentale
7. Arguments et forme trigonométrique
8. Interprétation dans le plan complexe
9. Forme exponentielle et formules d’Euler
10. Suites géométriques et binôme
11. Racines et équations quadratiques
12. Racines de l’unité et applications
13. Applications trigonométriques

📖 1. Définition et formes algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Parties réelle et imaginaire : Pour $z=x+iy$, $x=\operatorname{Re}(z)$ est la partie réelle et $y=\operatorname{Im}(z)$ est la partie imaginaire.

★ À maîtriser

• Le nombre imaginaire i vérifie $i^2=-1$ et n’est ni positif ni négatif.

📌 L’égalité $x+iy=x'+iy'$ avec des réels équivaut à $x=x'$ et $y=y'$.

Compléments

• Les ensembles numériques vérifient $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

💡 Astuce mémo

Partie réelle sur l’axe réel, partie imaginaire sur l’axe de i

📖 2. Conjugué et module

🔑 Notions clés & Définitions

• Imaginaire pur : Nombre complexe de la forme $iy$ avec $y\in\mathbb{R}$, ce qui équivaut à avoir $\operatorname{Re}(z)=0$.
• Conjugué : Le complexe $x-iy$.
• Module : Le réel $\sqrt{x^2+y^2}$.

📝 Points essentiels

• Le module de $3-2i$ vaut $|3-2i|=\sqrt{13}$.

💡 Astuce mémo

Le conjugué reflète le point par rapport à l’axe réel, tandis que le module mesure sa distance à l’origine

📖 3. Calculs algébriques complexes

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme de deux complexes vérifie $(x+iy)+(x'+iy')=(x+x')+i(y+y')$.

📐 Formule — Le produit de deux complexes vérifie $(x+iy)(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$.

Compléments

📐 Formule — L’opposé de $x+iy$ est $-(x+iy)=(-x)+i(-y)$.

📐 Formule — La différence de deux complexes vérifie $(x+iy)-(x'+iy')=(x-x')+i(y-y')$.

💡 Astuce mémo

Développer, remplacer i² par −1, puis regrouper réel et imaginaire

📖 4. Inverse et quotient

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $x+iy\neq0$, son inverse est $\frac{1}{x+iy}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$.

• Pour calculer un inverse ou un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur afin d’obtenir un dénominateur réel.

Compléments

• Le quotient $\frac{3-i}{1+2i}$ vaut $\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$ après multiplication par $1-2i$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par le conjugué, calculer le dénominateur réel, simplifier

📖 5. Propriétés du conjugué et du module

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout complexe z, on a $z\overline z=\operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2$ et $|z|=\sqrt{z\overline z}$.

📌 Un complexe z est réel si et seulement si $z=\overline z$, et il est imaginaire pur si et seulement si $z=-\overline z$.

📐 Formule — Le module vérifie $|zz'|=|z||z'|$ et, pour $z'\neq0$, $\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous complexes z et z', l’inégalité triangulaire donne $\big||z|-|z'|\big|\leq|z+z'|\leq|z|+|z'|$.

💡 Astuce mémo

Le produit par le conjugué devient réel, donc le module et l’inverse se calculent

📖 6. Trigonométrie fondamentale

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, l’identité fondamentale de la trigonométrie est $\cos^2x+\sin^2x=1$.

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ et $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$.

Compléments

📐 Formule — Pour $x\neq\frac\pi2+k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$, on a $1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$ et $\sin(2x)=2\sin x\cos x$.

📖 7. Arguments et forme trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument : Réel $\theta$ défini à $2\pi$ près tel que $\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $\sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout complexe non nul s’écrit sous forme trigonométrique $z=|z|\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ avec $\theta=\arg(z)$.

📐 Formule — Pour des complexes non nuls, $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi]$ et $\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi]$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout complexe non nul z, $\arg(\overline z)=-\arg(z)\ [2\pi]$ et $\arg(1/z)=-\arg(z)\ [2\pi]$.

💡 Astuce mémo

Le module donne la longueur, l’argument donne la direction

📖 8. Interprétation dans le plan complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan complexe : Plan qui associe au complexe $z=x+iy$ le point de coordonnées $(x,y)$ dans un repère orthonormé.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si M est l’image de z, alors $\|\overrightarrow{OM}\|=|z|$ et, si $z\neq0$, l’angle de $\overrightarrow{OM}$ avec l’axe réel vaut $\arg(z)\ [2\pi]$.

Compléments

📌 Deux points d’affixes z et z' sont symétriques par rapport à l’origine si et seulement si $z'=-z$, et par rapport à l’axe réel si et seulement si $z'=\overline z$.

💡 Astuce mémo

Un complexe devient un point ou un vecteur de coordonnées (x,y)

📖 9. Forme exponentielle et formules d’Euler

★ À maîtriser

📐 Formule — La notation exponentielle est définie par $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

📐 Formule — Les exponentielles complexes vérifient $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ et $\frac1{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$.

📐 Formule — La formule de Moivre est $\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^m=\cos(m\theta)+i\sin(m\theta)$ pour $m\in\mathbb{Z}$.

📐 Formule — Tout complexe non nul s’écrit sous forme exponentielle $z=|z|e^{i\theta}$ avec $\theta=\arg(z)$.

Compléments

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

💡 Astuce mémo

Produit des exponentielles → addition des angles → formule de Moivre

📖 10. Suites géométriques et binôme

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $q\in\mathbb{C}$ et $n\in\mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n}q^k=n+1$ si $q=1$, et $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ si $q\neq1$.

📐 Formule — La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ pour $a,b\in\mathbb{C}$.

Compléments

📐 Formule — Le coefficient binomial vérifie $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📖 11. Racines et équations quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée complexe : Complexe u tel que $u^2=z$.

★ À maîtriser

📌 Tout complexe non nul possède exactement deux racines carrées complexes, qui sont opposées l’une de l’autre.

• Pour chercher une racine carrée de $z=a+ib$, on pose $u=x+iy$, on développe $u^2$, puis on identifie les parties réelle et imaginaire.

📐 Formule — Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq0$, en posant $\Delta=b^2-4ac$ et $\delta^2=\Delta$, les solutions si $\Delta\neq0$ sont $z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$.

Compléments

📌 Lorsque $\Delta=0$, l’équation quadratique possède une solution double $z=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Discriminant, racine carrée complexe, puis formule des solutions

📖 12. Racines de l’unité et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième de l’unité : Complexe u tel que $u^n=1$, et l’ensemble de ces racines est $U_n=\{u\in\mathbb{C}\mid u^n=1\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $n\in\mathbb{N}^*$, les n racines n-ièmes de l’unité sont $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$ pour n valeurs entières consécutives de k.

📐 Formule — Si $z=re^{i\theta}\neq0$, les solutions de $u^n=z$ sont $u_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}$ pour n valeurs consécutives de k.

Compléments

📐 Formule — Les n racines n-ièmes de l’unité vérifient $\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0$.

• Les racines cubiques de l’unité sont $1,j,j^2$, où $j=e^{2i\pi/3}$, et elles vérifient $1+j+j^2=0$.

💡 Astuce mémo

Angles régulièrement espacés, puissances par Moivre, sommes par binôme

📖 13. Applications trigonométriques

★ À maîtriser

• Pour développer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$, on développe $\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n$ avec le binôme puis on identifie les parties réelle et imaginaire.

• Linéariser une puissance trigonométrique consiste à la réécrire comme une somme de termes en $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$ en utilisant les formules d’Euler et le binôme.

Compléments

• Le développement donne $\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ et $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un complexe non nul

Symétries dans le plan complexe