QCM : Nombres complexes — 35 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise le nombre imaginaire ii ?

Il vérifie i2=−1i^2=-1 et n’est ni positif ni négatif.
Il vérifie i2=0i^2=0 et appartient aux nombres réels.
Il vérifie i2=1i^2=1 et appartient aux nombres positifs.
Il vérifie i2=−1i^2=-1 et représente un nombre réel négatif.

Il vérifie $$i^2=-1$$ et n’est ni positif ni négatif.

Explication

Le nombre ii est défini par la relation i2=−1i^2=-1 et ne possède pas de signe positif ou négatif au sens des réels. Le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif, ce qui distingue ii des nombres réels.

2. Pour le complexe z=4−7iz=4-7i, quelles sont sa partie réelle et sa partie imaginaire ?

Re⁡(z)=−4\operatorname{Re}(z)=-4 et Im⁡(z)=7\operatorname{Im}(z)=7
Re⁡(z)=4i\operatorname{Re}(z)=4i et Im⁡(z)=−7i\operatorname{Im}(z)=-7i
Re⁡(z)=4\operatorname{Re}(z)=4 et Im⁡(z)=−7\operatorname{Im}(z)=-7
Re⁡(z)=−7\operatorname{Re}(z)=-7 et Im⁡(z)=4\operatorname{Im}(z)=4

$$\operatorname{Re}(z)=4$$ et $$\operatorname{Im}(z)=-7$$

Explication

Dans l’écriture z=x+iyz=x+iy, le coefficient de 11 est la partie réelle et le coefficient de ii est la partie imaginaire. Ainsi, dans 4−7i4-7i, ces deux parties valent respectivement 44 et −7-7.

3. Si x,y,x′,y′x,y,x',y' sont réels et si x+iy=x′+iy′x+iy=x'+iy', quelle conclusion peut-on tirer ?

On a x−y=x′−y′x-y=x'-y' sans égalité composante par composante.
On a x+x′=0x+x'=0 et y+y′=0y+y'=0.
On a x=x′x=x' et y=y′y=y'.
On a x=y′x=y' et y=x′y=x'.

On a $$x=x'$$ et $$y=y'$$.

Explication

Deux nombres complexes écrits sous forme algébrique sont égaux lorsque leurs parties réelle et imaginaire correspondantes sont égales. L’égalité impose donc séparément x=x′x=x' et y=y′y=y'.

4. Laquelle des conditions caractérise un imaginaire pur zz ?

Il s’écrit z=iyz=iy avec y∈Ry\in\mathbb{R}, donc Re⁡(z)=0\operatorname{Re}(z)=0.
Il vérifie ∣z∣=0|z|=0, donc ses deux composantes sont nulles.
Il s’écrit z=xz=x avec x∈Rx\in\mathbb{R}, donc Im⁡(z)=0\operatorname{Im}(z)=0.
Il s’écrit z=x+iyz=x+iy avec x=yx=y, donc ses deux parties sont égales.

Il s’écrit $$z=iy$$ avec $$y\in\mathbb{R}$$, donc $$\operatorname{Re}(z)=0$$.

Explication

Un imaginaire pur possède une partie réelle nulle et peut donc s’écrire iyiy avec yy réel. La condition Im⁡(z)=0\operatorname{Im}(z)=0 caractérise plutôt un nombre réel.

5. Quel est le conjugué du complexe z=5−3iz=5-3i ?

z‾=3−5i\overline z=3-5i
z‾=5+3i\overline z=5+3i
z‾=−5+3i\overline z=-5+3i
z‾=−5−3i\overline z=-5-3i

$$\overline z=5+3i$$

Explication

Le conjugué de x+iyx+iy est x−iyx-iy : la partie réelle reste inchangée et le signe de la partie imaginaire est inversé. Ainsi, le conjugué de 5−3i5-3i est 5+3i5+3i.

6. Quel est le module du complexe z=3+4iz=3+4i ?

∣z∣=7|z|=\sqrt{7}
∣z∣=1|z|=1
∣z∣=7|z|=7
∣z∣=5|z|=5

$$|z|=5$$

Explication

Le module se calcule par ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2}. Pour 3+4i3+4i, on obtient 32+42=25=5\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.

7. Quelle est la forme algébrique de la somme (2−3i)+(5+4i)(2-3i)+(5+4i) ?

7+i7+i
7−7i7-7i
−3+i-3+i
10+i10+i

$$7+i$$

Explication

Lors d’une addition, les parties réelles et imaginaires sont additionnées séparément : 2+5=72+5=7 et −3+4=1-3+4=1. La somme vaut donc 7+i7+i.

8. Quelle est la forme algébrique du produit (2+3i)(4−i)(2+3i)(4-i) ?

8+12i8+12i
11+10i11+10i
5+10i5+10i
11−10i11-10i

$$11+10i$$

Explication

La formule du produit donne une partie réelle xx′−yy′xx'-yy' et une partie imaginaire xy′+x′yxy'+x'y. Ici, elles valent 2×4−3×(−1)=112\times4-3\times(-1)=11 et 2×(−1)+4×3=102\times(-1)+4\times3=10, d’où 11+10i11+10i.

9. Quelle expression donne l’inverse du nombre complexe x+iyx+iy lorsque x+iy≠0x+iy\neq0 ?

xx+y−iyx+y\frac{x}{x+y}-i\frac{y}{x+y}
xx2+y2−iyx2+y2\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}
xx2−y2+iyx2−y2\frac{x}{x^2-y^2}+i\frac{y}{x^2-y^2}
xx2+y2+iyx2+y2\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{y}{x^2+y^2}

$$\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$$

Explication

L’inverse s’obtient en divisant le conjugué par le carré du module, ce qui donne l’expression proposée. Le conjugué, lui, est défini pour tout complexe, tandis que l’inverse exige un complexe non nul.

10. Quelle méthode permet de rendre réel le dénominateur d’un quotient de nombres complexes ?

Élever séparément le numérateur et le dénominateur au carré
Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur
Remplacer le dénominateur par son module sans modifier le numérateur
Multiplier numérateur et dénominateur par l’opposé du dénominateur

Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur

Explication

Multiplier par le conjugué du dénominateur produit un facteur de la forme zz‾z\overline z, qui est réel. Multiplier par l’opposé ne supprime pas en général la partie imaginaire du dénominateur.

11. Pour un complexe zz, quelle relation relie son module au produit de zz par son conjugué ?

∣z∣=z−z‾|z|=\sqrt{z-\overline z}
∣z∣=zz‾|z|=z\overline z
∣z∣=zz‾|z|=\sqrt{z\overline z}
∣z∣=z+z‾|z|=z+\overline z

$$|z|=\sqrt{z\overline z}$$

Explication

Le produit zz‾z\overline z vaut Re⁡(z)2+Im⁡(z)2\operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2, donc le module est sa racine carrée. Ce produit est réel positif ou nul, alors que la somme des deux complexes ne représente pas le module en général.

12. Quelle condition caractérise un nombre complexe réel ?

zz‾<0z\overline z<0
z=z‾z=\overline z
∣z∣=0|z|=0
z=−z‾z=-\overline z

$$z=\overline z$$

Explication

Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à z=z‾z=\overline z. La relation z=−z‾z=-\overline z caractérise au contraire les imaginaires purs.

13. Si z′≠0z'\neq0, quelle formule donne le module du quotient zz′\frac{z}{z'} ?

∣zz′∣=∣z∣+∣z′∣\left|\frac{z}{z'}\right|=|z|+|z'|
∣zz′∣=∣z∣∣z′∣\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}
∣zz′∣=∣z∣−∣z′∣\left|\frac{z}{z'}\right|=|z|-|z'|
∣zz′∣=∣z′∣∣z∣\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z'|}{|z|}

$$\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$$

Explication

Le module est multiplicatif et transforme donc une division complexe en quotient des modules. Une différence ou une somme de modules correspond à d’autres propriétés et ne décrit pas généralement le module d’un quotient.

14. Quelle identité trigonométrique est valable pour tout réel xx ?

cos⁡2x−sin⁡2x=1\cos^2x-\sin^2x=1
tan⁡2x+sin⁡2x=1\tan^2x+\sin^2x=1
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1
cos⁡x+sin⁡x=1\cos x+\sin x=1

$$\cos^2x+\sin^2x=1$$

Explication

L’identité fondamentale relie les carrés du cosinus et du sinus par cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 pour tout réel. Les expressions utilisant la tangente peuvent en outre exiger que cos⁡x≠0\cos x\neq0.

15. Quelle formule donne correctement le sinus d’une somme x+yx+y ?

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y
sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x+y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y
sin⁡(x+y)=sin⁡xsin⁡y+cos⁡xcos⁡y\sin(x+y)=\sin x\sin y+\cos x\cos y
sin⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\sin(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$

Explication

La formule d’addition du sinus combine les termes croisés avec un signe positif. L’expression cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\cos x\cos y-\sin x\sin y correspond à la formule du cosinus d’une somme.

16. Pour z=x+iy≠0z=x+iy\neq0, quelle propriété caractérise un argument de zz ?

C’est un réel unique égal à la distance entre le point associé et l’origine.
C’est un réel défini à π\pi près par le carré du module de zz.
C’est un réel défini à 2π2\pi près par les valeurs normalisées du cosinus et du sinus.
C’est un réel positif ou nul déterminé par les coordonnées cartésiennes de zz.

C’est un réel défini à $$2\pi$$ près par les valeurs normalisées du cosinus et du sinus.

Explication

Un argument θ\theta vérifie cos⁡θ=xx2+y2\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} et sin⁡θ=yx2+y2\sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, et il est défini modulo 2π2\pi. La distance à l’origine correspond au module, qui est une valeur réelle unique positive ou nulle.

17. Quelle écriture donne la forme trigonométrique d’un complexe non nul zz dont un argument est θ\theta ?

z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)z=|z|\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)
z=(cos⁡θ+isin⁡θ)∣z∣z=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{|z|}
z=∣z∣(sin⁡θ+icos⁡θ)z=|z|\left(\sin\theta+i\cos\theta\right)
z=θ(cos⁡∣z∣+isin⁡∣z∣)z=\theta\left(\cos|z|+i\sin|z|\right)

$$z=|z|\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$$

Explication

La forme trigonométrique sépare le module et la direction : z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta), avec θ=arg⁡(z)\theta=\arg(z). Les autres expressions intervertissent les rôles du module et de l’argument ou modifient incorrectement la structure.

18. Si zz et z′z' sont non nuls, comment s’exprime l’argument du quotient zz′\frac{z}{z'} modulo 2π2\pi ?

arg⁡(z)+arg⁡(z′)\arg(z)+\arg(z')
arg⁡(z)arg⁡(z′)\arg(z)\arg(z')
arg⁡(z)−arg⁡(z′)\arg(z)-\arg(z')
arg⁡(z)arg⁡(z′)\frac{\arg(z)}{\arg(z')}

$$\arg(z)-\arg(z')$$

Explication

La division de deux complexes non nuls entraîne la soustraction des arguments : arg⁡(zz′)=arg⁡(z)−arg⁡(z′) [2π]\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi]. L’addition des arguments correspond au produit zz′zz', et non au quotient.

19. Dans le plan complexe, quel point représente le nombre z=x+iyz=x+iy ?

Le point de coordonnées (∣z∣,arg⁡(z))(|z|,\arg(z)) dans un repère orthonormé.
Le point situé à distance x+yx+y de l’origine sur l’axe réel.
Le point de coordonnées (x,y)(x,y) dans un repère orthonormé.
Le point de coordonnées (y,x)(y,x) dans un repère orthonormé.

Le point de coordonnées $$(x,y)$$ dans un repère orthonormé.

Explication

L’affixe z=x+iyz=x+iy est associée au point dont l’abscisse est xx et l’ordonnée est yy. Le module et l’argument décrivent plutôt la distance à l’origine et la direction du point.

20. Si MM est l’image d’un complexe non nul zz, que représentent ∣z∣|z| et arg⁡(z)\arg(z) dans le plan complexe ?

∣z∣|z| est la longueur de OM→\overrightarrow{OM} et arg⁡(z)\arg(z) est son angle avec l’axe réel.
∣z∣|z| est l’angle de OM→\overrightarrow{OM} et arg⁡(z)\arg(z) est sa longueur.
∣z∣|z| est l’ordonnée de MM et arg⁡(z)\arg(z) est son abscisse.
∣z∣|z| est l’abscisse de MM et arg⁡(z)\arg(z) est son ordonnée.

$$|z|$$ est la longueur de $$\overrightarrow{OM}$$ et $$\arg(z)$$ est son angle avec l’axe réel.

Explication

Le module vérifie ∥OM→∥=∣z∣\|\overrightarrow{OM}\|=|z|, tandis que l’argument donne l’angle orienté de ce vecteur avec l’axe réel modulo 2π2\pi. Confondre ces deux grandeurs revient à intervertir longueur et direction.

21. Quelle définition relie l’exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques ?

eiθ=θ(cos⁡θ+isin⁡θ)e^{i\theta}=\theta\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)
eiθ=sin⁡θ+icos⁡θe^{i\theta}=\sin\theta+i\cos\theta
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
eiθ=cosh⁡θ+isinh⁡θe^{i\theta}=\cosh\theta+i\sinh\theta

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

Explication

Par définition, l’exponentielle complexe de module un vaut eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Les autres expressions ne correspondent pas à la définition de l’exponentielle complexe utilisée ici.

22. Quelle relation décrit correctement le produit et l’inverse des exponentielles complexes ?

eiθeiθ′=eiθθ′e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i\theta\theta'} et 1eiθ=ei/θ\frac1{e^{i\theta}}=e^{i/\theta}
eiθeiθ′=ei(θ−θ′)e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta-\theta')} et 1eiθ=eiθ\frac1{e^{i\theta}}=e^{i\theta}
eiθeiθ′=ei(θ+θ′)e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')} et 1eiθ=e−iθ\frac1{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}
eiθeiθ′=ei(θ+θ′)e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')} et 1eiθ=eiθ\frac1{e^{i\theta}}=e^{i\theta}

$$e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$$ et $$\frac1{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$$

Explication

Le produit additionne les angles, tandis que l’inversion change le signe de l’angle : eiθeiθ′=ei(θ+θ′)e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')} et 1/eiθ=e−iθ1/e^{i\theta}=e^{-i\theta}. L’inversion ne conserve donc pas l’exposant inchangé.

23. Pour un entier mm, quelle formule permet de calculer (cos⁡θ+isin⁡θ)m\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^m ?

cos⁡(θm)+isin⁡(θm)\cos(\theta^m)+i\sin(\theta^m)
mcos⁡θ+imsin⁡θm\cos\theta+im\sin\theta
cos⁡θ+isin⁡(mθ)\cos\theta+i\sin(m\theta)
cos⁡(mθ)+isin⁡(mθ)\cos(m\theta)+i\sin(m\theta)

$$\cos(m\theta)+i\sin(m\theta)$$

Explication

La formule de Moivre donne (cos⁡θ+isin⁡θ)m=cos⁡(mθ)+isin⁡(mθ)\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^m=\cos(m\theta)+i\sin(m\theta) pour m∈Zm\in\mathbb{Z}. La puissance agit donc en multipliant l’angle par mm, plutôt qu’en élevant l’angle ou chaque terme séparément à la puissance mm.

24. Quelle paire de formules d’Euler exprime correctement le cosinus et le sinus à l’aide des exponentielles complexes ?

cos⁡θ=eiθ+e−iθ\cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta} et sin⁡θ=eiθ−e−iθ\sin\theta=e^{i\theta}-e^{-i\theta}
cos⁡θ=eiθ−e−iθ2i\cos\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} et sin⁡θ=eiθ+e−iθ2\sin\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}
cos⁡θ=eiθ+e−iθ2i\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2i} et sin⁡θ=eiθ−e−iθ2\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}
cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} et sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

$$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$ et $$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

Explication

Le cosinus s’obtient par la somme des exponentielles divisée par 22, tandis que le sinus s’obtient par leur différence divisée par 2i2i. La confusion la plus courante consiste à échanger ces deux structures ou à oublier leurs facteurs de normalisation.

25. Pour q=1q=1, quelle est la valeur de la somme ∑k=0nqk\sum_{k=0}^{n}q^k ?

qn+1q^{n+1}
nn
n+1n+1
1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

$$n+1$$

Explication

Lorsque q=1q=1, chacun des n+1n+1 termes de la somme vaut 1, donc la somme vaut n+1n+1. La formule fractionnaire est réservée au cas q≠1q\neq1, car son dénominateur serait nul ici.

26. Quelle expression représente le développement binomial de (a+b)n(a+b)^n ?

∑k=0n(kn)akbn−k\sum_{k=0}^{n}\binom{k}{n}a^k b^{n-k}
∑k=0nan−kbk\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k
∑k=0n(nk)akbk\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^k
∑k=0n(nk)an−kbk\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$

Explication

Le binôme de Newton associe à chaque terme le coefficient (nk)\binom{n}{k} et les puissances complémentaires an−ka^{n-k} et bkb^k. Une somme sans coefficients binomiaux ne donne pas le développement général.

27. Comment définit-on une racine carrée complexe de zz ?

Un complexe uu tel que u+z=0u+z=0
Un complexe uu tel que u2=zu^2=z
Un complexe uu tel que 2u=z2u=z
Un complexe uu tel que uz=1u^z=1

Un complexe $$u$$ tel que $$u^2=z$$

Explication

Par définition, une racine carrée complexe de zz est un nombre uu dont le carré est égal à zz. Les autres relations proposées sont des équations différentes et ne caractérisent pas une racine carrée.

28. Combien de racines carrées complexes distinctes possède un nombre complexe non nul ?

Deux, et elles sont égales
Deux, et elles sont opposées
Trois, réparties sur un cercle
Une seule, nécessairement réelle

Deux, et elles sont opposées

Explication

Tout complexe non nul possède deux racines carrées distinctes, liées par un signe opposé. Le cas d’une racine unique correspond à z=0z=0, dont la seule racine carrée est 0.

29. Pour déterminer une racine carrée de z=a+ibz=a+ib, quelle démarche convient ?

Remplacer zz par son conjugué avant de résoudre
Poser u=x+iyu=x+iy, puis comparer directement les modules
Écrire u=a+ibu=a+ib et appliquer une puissance entière
Poser u=x+iyu=x+iy, développer u2u^2 et identifier les parties

Poser $$u=x+iy$$, développer $$u^2$$ et identifier les parties

Explication

On écrit l’inconnue sous la forme u=x+iyu=x+iy, puis on développe son carré afin d’identifier séparément les parties réelle et imaginaire à celles de zz. Comparer les modules seuls ne fournit pas les deux conditions nécessaires.

30. Pour l’équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 avec a≠0a\neq0 et Δ≠0\Delta\neq0, où Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac et δ2=Δ\delta^2=\Delta, quelles sont les solutions ?

z=b±δ2az=\frac{b\pm\delta}{2a}
z=−c±δ2bz=\frac{-c\pm\delta}{2b}
z=−b±δ2az=\frac{-b\pm\delta}{2a}
z=−b±Δaz=\frac{-b\pm\Delta}{a}

$$z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$$

Explication

Lorsque le discriminant est non nul, les deux solutions s’obtiennent avec z=−b±δ2az=\frac{-b\pm\delta}{2a}, où δ\delta est une racine carrée de Δ\Delta. Le discriminant lui-même ne remplace pas sa racine carrée dans cette formule.

31. Quelle condition caractérise une racine n-ième de l’unité ?

Elle vérifie un=0u^n=0
Elle vérifie u+n=1u+n=1
Elle vérifie un=1u^n=1
Elle vérifie nu=1nu=1

Elle vérifie $$u^n=1$$

Explication

Une racine n-ième de l’unité est un complexe dont la puissance n-ième vaut 1; l’ensemble correspondant est UnU_n. Les autres équations ne décrivent pas les racines de l’unité.

32. Quelles sont les racines n-ièmes de l’unité pour n≥1n\geq1 ?

ωk=eikπ/n\omega_k=e^{ik\pi/n} pour n valeurs consécutives de kk
ωk=e(2k+1)iπ/n\omega_k=e^{(2k+1)i\pi/n} pour n valeurs consécutives de kk
ωk=e2ikπ/n\omega_k=e^{2ik\pi/n} pour n valeurs consécutives de kk
ωk=e2ikπn\omega_k=e^{2ik\pi n} pour n valeurs consécutives de kk

$$\omega_k=e^{2ik\pi/n}$$ pour n valeurs consécutives de $$k$$

Explication

Les racines n-ièmes de l’unité sont données par ωk=e2ikπ/n\omega_k=e^{2ik\pi/n} lorsque kk parcourt n valeurs entières consécutives. L’angle doit être construit avec un incrément de 2π/n2\pi/n pour obtenir les n solutions de un=1u^n=1.

33. Si z=reiθ≠0z=re^{i\theta}\neq0, quelle forme prennent les solutions de un=zu^n=z ?

uk=rn ei(nθ+2kπ)u_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(n\theta+2k\pi)}
uk=rnei(nθ+2kπ)u_k=r^n e^{i(n\theta+2k\pi)}
uk=rei(θ+2kπ)nu_k=re^{i(\theta+2k\pi)n}
uk=rn ei(θ+2kπ)/nu_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}

$$u_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}$$

Explication

Pour extraire une racine n-ième, le module devient rn\sqrt[n]{r} et l’argument est divisé par n, avec les décalages de 2kπ2k\pi. Les autres expressions élèvent le module ou l’argument au lieu d’effectuer cette extraction.

34. Pour déterminer cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta) à partir de (cos⁡θ+isin⁡θ)n\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n, quelle identification faut-il effectuer après le développement binomial ?

Associer les deux parties à cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta sans multiplier l’angle
Associer la partie réelle à cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et annuler la partie imaginaire obtenue
Identifier la partie réelle avec sin⁡(nθ)\sin(n\theta) et la partie imaginaire avec cos⁡(nθ)\cos(n\theta)
Identifier la partie réelle avec cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et la partie imaginaire avec sin⁡(nθ)\sin(n\theta)

Identifier la partie réelle avec $$\cos(n\theta)$$ et la partie imaginaire avec $$\sin(n\theta)$$

Explication

Le développement de la puissance complexe permet d’identifier sa partie réelle à cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et sa partie imaginaire à sin⁡(nθ)\sin(n\theta). La confusion fréquente consiste à inverser ces deux rôles, car le cosinus correspond à la composante réelle et le sinus à la composante imaginaire.

35. Quelle transformation décrit correctement la linéarisation d’une puissance trigonométrique ?

La remplacer par un produit de puissances en cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta grâce aux formules d’addition
La réécrire comme une somme de termes en cos⁡(kθ)\cos(k\theta) et sin⁡(kθ)\sin(k\theta) grâce aux formules d’Euler et au binôme
La développer en une somme de termes algébriques sans fonctions trigonométriques de multiples de θ\theta
La convertir en une constante indépendante de θ\theta grâce aux identités trigonométriques usuelles

La réécrire comme une somme de termes en $$\cos(k\theta)$$ et $$\sin(k\theta)$$ grâce aux formules d’Euler et au binôme

Explication

La linéarisation transforme une puissance trigonométrique en une somme de fonctions trigonométriques portant sur des multiples de l’angle, en utilisant les formules d’Euler et le binôme. Une simple réécriture en produit de puissances ne réalise pas cette transformation en somme linéaire.

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Quelle relation vérifie le nombre imaginaire ii ?

i2=−1i^2=-1.

Quelle est la nature du nombre imaginaire ii en termes de signe ?

Il n’est ni positif ni négatif.

Comment s’appelle la partie xx dans z=x+iyz=x+iy ?

La partie réelle.

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