Fiche de révision : Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme algébrique
2. Interprétation géométrique
3. Conjugué et propriétés
4. Module et argument
5. Formes trigonométrique et exponentielle
6. Calculs géométriques complexes
7. Équations du second degré

📖 1. Définition et forme algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : s’écrit sous la forme $z=a+ib$, où a et b sont des nombres réels et où $i^2=-1$
• Partie réelle : Dans l’écriture $z=a+ib$, a est la partie réelle de z et b est sa partie imaginaire

📝 Points essentiels

📌 Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, c’est-à-dire si b=0 dans $z=a+ib$.

📖 2. Interprétation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe d’un point : un nombre complexe $z=a+ib$ associé à un point M de coordonnées (a,b) dans un repère orthonormé
• Affixe d’un vecteur : Un vecteur de coordonnées (a,b) peut être représenté par l’affixe complexe $a+ib$.

📝 Points essentiels

• Si M et N ont pour affixes $z_M$ et $z_N$, alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{MN}$ est $z_N-z_M$.

💡 Astuce mémo

Un point M(a,b) dans le plan devient le nombre complexe a+ib.

📖 3. Conjugué et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : le nombre $\overline z=a-ib$

★ À maîtriser

• Géométriquement, le conjugué de l’affixe d’un point est l’affixe du point symétrique par rapport à l’axe des réels.

📌 Un nombre complexe est réel si et seulement si $z=\overline z$.

Compléments

📌 Si z est un imaginaire pur, alors $z=-\overline z$.

💡 Astuce mémo

Le conjugué conserve la partie réelle et oppose la partie imaginaire.

📖 4. Module et argument

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : la distance entre l’origine O et le point M d’affixe z
• Argument : une mesure de l’angle orienté entre le vecteur unitaire de l’axe des réels et le vecteur OM

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $z=a+ib$, son module vaut $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Compléments

📌 Si z est réel, alors un argument de z est égal à 0 modulo $\pi$, tandis que si z est un imaginaire pur, un argument de z est égal à $\frac{\pi}{2}$ modulo $\pi$.

💡 Astuce mémo

Le module est la distance OM et l’argument est l’angle orienté de OM.

📖 5. Formes trigonométrique et exponentielle

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, alors cette écriture est la forme trigonométrique de z, où $\theta$ est un argument de z.

📐 Formule - La formule d’Euler est $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

📐 Formule - La forme exponentielle d’un nombre complexe est $z=|z|e^{i\theta}$, où $\theta$ est un argument de z.

• L’identité remarquable $e^{i\pi}=-1$ signifie qu’un complexe de module 1 et d’argument $\pi$ a pour affixe le point -1.

Compléments

📐 Formule - Les relations $a=|z|\cos\theta$ et $b=|z|\sin\theta$ permettent de passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique.

📐 Formule - La multiplication des exponentielles complexes vérifie $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$.

💡 Astuce mémo

Algébrique → trigonométrique → exponentielle.

📖 6. Calculs géométriques complexes

★ À maîtriser

📌 Les propriétés du module permettent de calculer les longueurs, tandis que les propriétés de l’argument permettent de calculer les angles orientés.

📐 Formule - L’angle orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ peut se calculer par $\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)$.

Compléments

📐 Formule - Le module du conjugué vérifie $|\overline z|=|z|$.

📖 7. Équations du second degré

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour l’équation $Az^2+Bz+C=0$ à coefficients réels, le discriminant est $\Delta=B^2-4AC$.

📌 Si $\Delta>0$, l’équation réelle possède deux solutions réelles, et si $\Delta=0$, elle possède une solution réelle.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation n’a pas de solution réelle mais possède deux solutions complexes.

📐 Formule - Lorsque $\Delta<0$, les deux solutions complexes de $Az^2+Bz+C=0$ sont $z_1=\frac{-B+i\sqrt{-\Delta}}{2A}$ et $z_2=\frac{-B-i\sqrt{-\Delta}}{2A}$.

💡 Astuce mémo

Discriminant négatif → deux solutions complexes.

📊 Tableaux de synthèse

Les trois formes d’un nombre complexe