QCM : Nombres complexes (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle égalité exprime la formule d’Euler pour un réel θ\theta ?

eiθ=sin⁡θ+icos⁡θe^{i\theta}=\sin\theta+i\cos\theta
eiθ=θ(cos⁡θ+isin⁡θ)e^{i\theta}=\theta(\cos\theta+i\sin\theta)
eiθ=cosh⁡θ+isinh⁡θe^{i\theta}=\cosh\theta+i\sinh\theta
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

Explication

La formule d’Euler relie l’exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques par eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Les autres égalités permutent les fonctions ou introduisent un facteur qui n’appartient pas à cette formule.

2. Laquelle de ces conditions caractérise un nombre complexe réel ?

z=z‾z=\overline z
zz‾=0z\overline z=0
z=−z‾z=-\overline z
z=iz‾z=i\overline z

$$z=\overline z$$

Explication

Un complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué, donc si z=z‾z=\overline z. La relation z=−z‾z=-\overline z caractérise plutôt les imaginaires purs, avec le cas nul inclus.

3. Pour l’équation 3z2−5z+1=03z^2-5z+1=0, quelle expression donne son discriminant ?

(−5)2+12=37(-5)^2+12=37
32−4×5×1=−113^2-4\times5\times1=-11
25−12=1325-12=13
52−4=215^2-4=21

$$25-12=13$$

Explication

Le discriminant se calcule avec Δ=B2−4AC\Delta=B^2-4AC ; ici, Δ=(−5)2−4×3×1=13\Delta=(-5)^2-4\times3\times1=13. Le discriminant indique ensuite le nombre et la nature des solutions, mais il n’est pas lui-même une solution.

4. Quelle écriture est la forme trigonométrique d’un nombre complexe de module rr et d’argument θ\theta ?

z=cos⁡r+isin⁡θz=\cos r+i\sin\theta
z=reθz=r e^{\theta}
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)
z=r+iθz=r+i\theta

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Explication

La forme trigonométrique associe le module aux fonctions cos⁡\cos et sin⁡\sin selon z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta). L’écriture r+iθr+i\theta est algébrique, tandis que reθre^\theta ne contient pas l’exposant imaginaire requis.

5. Quelle expression permet de calculer l’angle orienté entre AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} à partir de leurs affixes ?

arg⁡(zD−zCzB−zA)\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)
arg⁡(zB−zAzD−zC)\arg\left(\frac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\right)
∣zD−zCzB−zA∣\left|\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right|
arg⁡((zD−zC)(zB−zA))\arg\left((z_D-z_C)(z_B-z_A)\right)

$$\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)$$

Explication

Le quotient des affixes des vecteurs CD→\overrightarrow{CD} et AB→\overrightarrow{AB} fournit leur rapport de directions, dont l’argument est l’angle orienté recherché. Le module du quotient donne un rapport de longueurs et non un angle.

6. Un point MM a pour coordonnées (−2,4)(-2,4) dans un repère orthonormé ; quelle est son affixe ?

−2+4-2+4
(−2,4)(-2,4)
−2+4i-2+4i
4−2i4-2i

$$-2+4i$$

Explication

L’affixe d’un point de coordonnées (a,b)(a,b) est le nombre complexe a+iba+ib, donc celle de MM est −2+4i-2+4i. Le couple (−2,4)(-2,4) correspond aux coordonnées du point, et non à son affixe complexe.

7. Laquelle des écritures représente la forme algébrique générale d’un nombre complexe ?

z=a+ibz=a+ib, avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1
z=a+bz=a+b, avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=1i^2=1
z=ai+bz=ai+b, avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=1i^2=1
z=a−ibz=a-ib, avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=1i^2=1

$$z=a+ib$$, avec $$a,b\in\mathbb{R}$$ et $$i^2=-1$$

Explication

La forme algébrique d’un nombre complexe est z=a+ibz=a+ib, où les coefficients sont réels et où i2=−1i^2=-1. L’écriture z=a+bz=a+b ne fait pas intervenir la partie imaginaire ni la définition de l’unité imaginaire.

8. Dans l’écriture z=5−3iz=5-3i, quelles sont les parties réelle et imaginaire de zz ?

La partie réelle vaut 55 et la partie imaginaire vaut −3i-3i.
La partie réelle vaut −3-3 et la partie imaginaire vaut 55.
La partie réelle vaut 55 et la partie imaginaire vaut −3-3.
La partie réelle vaut −3i-3i et la partie imaginaire vaut 55.

La partie réelle vaut $$5$$ et la partie imaginaire vaut $$-3$$.

Explication

Dans z=a+ibz=a+ib, le coefficient réel de ii est la partie imaginaire, tandis que le terme indépendant de ii est la partie réelle. Ici, ces parties valent donc respectivement 55 et −3-3, et non −3i-3i.

9. Que mesure un argument d’un nombre complexe non nul d’affixe zz ?

L’angle orienté entre l’axe réel positif et le vecteur OM→\overrightarrow{OM}
La coordonnée réelle du point d’affixe zz
La distance entre l’origine et le point d’affixe zz
La somme des coordonnées du point d’affixe zz

L’angle orienté entre l’axe réel positif et le vecteur $$\overrightarrow{OM}$$

Explication

Un argument mesure l’angle orienté entre le vecteur unitaire de l’axe des réels et OM→\overrightarrow{OM}. La distance entre l’origine et MM est donnée par le module.

10. Pour Az2+Bz+C=0Az^2+Bz+C=0 avec Δ<0\Delta<0, quelles expressions donnent les deux solutions complexes ?

z1=B+iΔ2Az_1=\frac{B+i\sqrt{\Delta}}{2A} et z2=B−iΔ2Az_2=\frac{B-i\sqrt{\Delta}}{2A}
z1=−B+i−Δ2Az_1=\frac{-B+i\sqrt{-\Delta}}{2A} et z2=−B−i−Δ2Az_2=\frac{-B-i\sqrt{-\Delta}}{2A}
z1=−B+iΔ2Az_1=\frac{-B+i\sqrt{\Delta}}{2A} et z2=−B−iΔ2Az_2=\frac{-B-i\sqrt{\Delta}}{2A}
z1=−B+−ΔAz_1=\frac{-B+\sqrt{-\Delta}}{A} et z2=−B−−ΔAz_2=\frac{-B-\sqrt{-\Delta}}{A}

$$z_1=\frac{-B+i\sqrt{-\Delta}}{2A}$$ et $$z_2=\frac{-B-i\sqrt{-\Delta}}{2A}$$

Explication

Pour Δ<0\Delta<0, les solutions sont −B±i−Δ2A\frac{-B\pm i\sqrt{-\Delta}}{2A}, ce qui donne les deux expressions conjuguées proposées. Les autres formules comportent un signe, un dénominateur ou une racine incompatibles avec le cas d’un discriminant négatif.

11. Que représente géométriquement le module d’un nombre complexe d’affixe zz ?

La coordonnée réelle du point d’affixe zz
La distance entre l’origine et le point d’affixe zz
La mesure de l’angle entre l’axe réel et le point d’affixe zz
La coordonnée imaginaire du point d’affixe zz

La distance entre l’origine et le point d’affixe $$z$$

Explication

Le module de zz correspond à la longueur OMOM, où MM est le point d’affixe zz. La mesure de l’angle orienté relève de l’argument, et non du module.

12. Si MM et NN ont pour affixes zM=2−iz_M=2-i et zN=5+3iz_N=5+3i, quelle est l’affixe de MN→\overrightarrow{MN} ?

3−2i3-2i
−3−4i-3-4i
3+4i3+4i
7+2i7+2i

$$3+4i$$

Explication

L’affixe du vecteur MN→\overrightarrow{MN} se calcule par zN−zMz_N-z_M, soit (5+3i)−(2−i)=3+4i(5+3i)-(2-i)=3+4i. L’addition des deux affixes donnerait une autre expression qui ne représente pas le déplacement de MM vers NN.

13. Quel est le conjugué du nombre complexe z=4−7iz=4-7i ?

z‾=7−4i\overline z=7-4i
z‾=−4+7i\overline z=-4+7i
z‾=4+7i\overline z=4+7i
z‾=−4−7i\overline z=-4-7i

$$\overline z=4+7i$$

Explication

Le conjugué de a+iba+ib est a−iba-ib : la partie réelle reste inchangée et le signe de la partie imaginaire s’inverse. Ainsi, le conjugué de 4−7i4-7i est 4+7i4+7i.

14. Quelle transformation géométrique correspond au passage de l’affixe z=a+ibz=a+ib à son conjugué ?

Une translation selon l’axe des réels
Une rotation d’un demi-tour autour de l’origine
Une symétrie par rapport à l’axe des réels
Une symétrie par rapport à l’axe des imaginaires

Une symétrie par rapport à l’axe des réels

Explication

Le conjugué transforme a+iba+ib en a−iba-ib : la coordonnée réelle est conservée et la coordonnée imaginaire change de signe. Cette transformation est la symétrie par rapport à l’axe des réels, tandis qu’une symétrie par rapport à l’axe des imaginaires changerait le signe de la partie réelle.

15. Que peut-on conclure pour une équation du second degré réelle lorsque Δ<0\Delta<0 ?

Elle possède deux solutions réelles distinctes
Elle ne possède aucune solution, même complexe
Elle possède deux solutions complexes
Elle possède une solution réelle double

Elle possède deux solutions complexes

Explication

Lorsque Δ<0\Delta<0, l’équation ne possède pas de solution réelle, mais elle possède deux solutions complexes. La conclusion « une solution réelle double » correspond au cas Δ=0\Delta=0.

16. Quelle est la forme exponentielle d’un nombre complexe de module rr et d’argument θ\theta ?

z=(r+i)eθz=(r+i)e^\theta
z=θeirz=\theta e^{ir}
z=reiθz=r e^{i\theta}
z=reθz=r e^\theta

$$z=r e^{i\theta}$$

Explication

La forme exponentielle s’écrit z=∣z∣eiθz=|z|e^{i\theta}, avec le module comme facteur et l’argument dans l’exposant multiplié par ii. Une exponentielle réelle eθe^\theta ne code pas la direction complexe.

17. Quel est le module du nombre complexe z=3−4iz=3-4i ?

77
7\sqrt{7}
55
11

$$5$$

Explication

Pour z=a+ibz=a+ib, on utilise ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}, donc ∣z∣=32+(−4)2=5|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5. La somme algébrique des coordonnées ne donne pas le module.

18. Pour quelle condition le nombre complexe z=a+ibz=a+ib est-il réel ?

Lorsque b=0b=0
Lorsque b=1b=1
Lorsque a=ba=b
Lorsque a=0a=0

Lorsque $$b=0$$

Explication

Un complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle, ce qui impose b=0b=0 dans z=a+ibz=a+ib. La condition a=0a=0 décrit plutôt un nombre imaginaire pur, sous réserve de sa définition.

19. Que signifie géométriquement l’identité eiπ=−1e^{i\pi}=-1 ?

Le point d’affixe 11 a un module égal à π\pi et un argument égal à 00
Le point d’affixe −1-1 a un module égal à π\pi et un argument égal à 11
Le point d’affixe −1-1 a un module égal à 11 et un argument égal à π\pi
Le point d’affixe π\pi a un module égal à 11 et un argument égal à −1-1

Le point d’affixe $$-1$$ a un module égal à $$1$$ et un argument égal à $$\pi$$

Explication

D’après la forme exponentielle, eiπ=1⋅eiπe^{i\pi}=1\cdot e^{i\pi} représente un complexe de module 11 et d’argument π\pi, donc le point −1-1. Le nombre π\pi est ici un angle, pas l’affixe du point.

20. Pour déterminer une longueur ou un angle orienté à partir de nombres complexes, quelle propriété faut-il privilégier dans chaque cas ?

L’argument pour une longueur et le module pour un angle orienté
L’argument pour les deux grandeurs géométriques
Le module pour une longueur et l’argument pour un angle orienté
Le module pour les deux grandeurs géométriques

Le module pour une longueur et l’argument pour un angle orienté

Explication

Les propriétés du module donnent des longueurs, tandis que celles de l’argument donnent des angles orientés. Confondre ces rôles revient à utiliser une mesure de distance pour une direction ou inversement.

21. Combien de solutions réelles possède l’équation 2z2+z−3=02z^2+z-3=0 lorsque son discriminant est strictement positif ?

Aucune solution dans les nombres réels
Une solution réelle double
Deux solutions réelles distinctes
Deux solutions complexes conjuguées

Deux solutions réelles distinctes

Explication

Un discriminant strictement positif implique deux solutions réelles distinctes pour une équation du second degré. Une solution réelle double correspond plutôt au cas Δ=0\Delta=0.

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Comment s'écrit un nombre complexe ?

Sous la forme z=a+ibz=a+ib.

Quelle est la valeur de i2i^2 dans un nombre complexe ?

i2=−1i^2 = -1.

Dans z=a+ibz=a+ib, que représente a ?

La partie réelle de z.

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