Fiche de révision : Valeur absolue et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Définition de la valeur absolue
2. Équations avec valeur absolue
3. Inégalités et intervalles
4. Valeur absolue et distance

📖 1. Définition de la valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Partie positive ou nulle d’une expression.

📝 Points essentiels

• On a $|-7|=7$, $|0|=0$ et $|1-9|=8$.

• Pour des nombres positifs, $|9+5|=14$ et $|9|+|5|=14$, tandis que $|-7+12|=5$ et $|-7|+|12|=19$.

💡 Astuce mémo

Nombre positif ou nul, que l’expression soit positive ou négative

📖 2. Équations avec valeur absolue

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre une équation de la forme $|A|=a$ avec $a\geq 0$, on résout les deux équations $A=a$ et $A=-a$.

• L’équation $|x+3|=8$ a pour solutions $x=5$ et $x=-11$, donc $S=\{-11;5\}$.

Compléments

• L’équation $|2x-5|=3$ se résout avec $2x-5=3$ ou $2x-5=-3$ et donne $S=\{1;4\}$.

💡 Astuce mémo

Deux signes possibles : expression = a ou expression = −a

📖 3. Inégalités et intervalles

★ À maîtriser

📌 Une inégalité $|x-a|\leq r$ correspond à l’intervalle fermé $[a-r;a+r]$, tandis que $|x-a|<r$ correspond à l’intervalle ouvert $]a-r;a+r[$.

📌 Une inégalité $|x-a|\geq r$ correspond à $]-\infty;a-r]\cup[a+r;+\infty[$, tandis que $|x-a|>r$ correspond à $]-\infty;a-r[\cup]a+r;+\infty[$.

• On a $|x-7|\leq 1\Longleftrightarrow x\in[6;8]$ et $|x-3|\geq 2\Longleftrightarrow x\in]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$.

Compléments

• On a $|x-5\,000|\geq1\,000\Longleftrightarrow x\in]-\infty;4\,000]\cup[6\,000;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

≤ ou < donne l’intervalle central ; ≥ ou > donne les deux extérieurs

📖 4. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Représente la distance entre le point d’abscisse x et le point d’abscisse a sur une droite graduée.

★ À maîtriser

• Dans le tableau du cours, $|x-1|\leq3$ équivaut à $d(x;1)\leq3$, à $-2\leq x\leq4$ et à $x\in[-2;4]$.

Compléments

• L’inégalité $|x-7|\leq1$ équivaut à $d(x;7)\leq1$ et décrit les points situés à une distance au plus égale à 1 de 7.

• Pour $|x+3|\leq2$, la distance s’écrit $d(x;-3)\leq2$ et l’intervalle correspondant est $x\in[-5;-1]$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance entre x et un nombre sur une droite graduée

📊 Tableaux de synthèse

Inégalités de valeur absolue et intervalles