Fiche de révision : Nombres complexes algébriques

📋 Plan du Cours

1. Ensemble des nombres complexes
2. Forme algébrique et égalité
3. Calculs dans les complexes
4. Conjugué et propriétés fondamentales
5. Conjugué des opérations

📖 1. Ensemble des nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des nombres complexes : L’ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$, contient $\mathbb{R}$, possède un nombre $i$ tel que $i^2=-1$, et tout complexe s’écrit de manière unique $z=a+ib$ avec $a,b\in\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• La chaîne d’inclusions des ensembles numériques est $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

📖 2. Forme algébrique et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : Écriture $z=a+ib$, où $a$ et $b$ sont réels.
• Partie réelle : Dans $z=a+ib$, $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\operatorname{Re}(z)$, et $b$ est sa partie imaginaire, notée $\operatorname{Im}(z)$.

★ À maîtriser

📌 Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, tandis qu’il est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.

📌 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont respectivement égales.

Compléments

• Le seul nombre à la fois réel et imaginaire pur est $0$.

💡 Astuce mémo

Réel : partie imaginaire nulle ; imaginaire pur : partie réelle nulle.

📖 3. Calculs dans les complexes

★ À maîtriser

📌 Les opérations sur les nombres complexes suivent les règles usuelles des réels, à condition de remplacer systématiquement $i^2$ par $-1$.

Compléments

• Le produit $(3-2i)(-1+5i)$ se réduit sous forme algébrique à $7+17i$.

• Le produit $(3-4i)(3+4i)$ vaut $25$.

💡 Astuce mémo

Développer, regrouper les parties réelle et imaginaire, puis remplacer $i^2$ par $-1$.

📖 4. Conjugué et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué d’un nombre complexe $z=a+ib$ est le nombre $\overline z=a-ib$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $z=a+ib$, on a $z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)$, $z-\overline z=2i\operatorname{Im}(z)$ et $z\overline z=a^2+b^2$.

📌 Un complexe est réel si et seulement si $z=\overline z$, et il est imaginaire pur si et seulement si $z=-\overline z$.

Compléments

• Pour $z=2+\sqrt3i$, on obtient $z+\overline z=4$, $z-\overline z=2\sqrt3i$ et $z\overline z=7$.

💡 Astuce mémo

Le conjugué reflète le nombre complexe en changeant le signe de sa partie imaginaire.

📖 5. Conjugué des opérations

📝 Points essentiels

• Pour calculer la forme algébrique d’un inverse ou d’un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

📐 Formule — Pour $z'=a'+ib'\neq0$, on a $\frac1{z'}=\frac{\overline{z'}}{z'\overline{z'}}=\frac{a'-ib'}{a'^2+b'^2}$ et, pour $z=a+ib$, $\frac{z}{z'}=\frac{z\overline{z'}}{z'\overline{z'}}$.

📌 La conjugaison conserve les sommes, les produits et les puissances, et vérifie $\overline{1/z}=1/\overline z$ ainsi que $\overline{z/z'}=\overline z/\overline{z'}$ lorsque les dénominateurs sont non nuls.

💡 Astuce mémo

La conjugaison se distribue sur la somme, le produit, la puissance et le quotient.