QCM : Nombres complexes algébriques — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise l’ensemble des nombres complexes C\mathbb{C} ?

Il contient R\mathbb{R} et tout nombre complexe s’écrit z=a+ibz=a+ib avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}.
Il contient R\mathbb{R} et possède un nombre ii réel vérifiant i2=−1i^2=-1.
Il est contenu dans R\mathbb{R} et contient un nombre ii tel que i2=−1i^2=-1.
Il contient R\mathbb{R} mais tout nombre complexe s’écrit z=a+ibz=a+ib avec a,b∈Ca,b\in\mathbb{C}.

Il contient $$\mathbb{R}$$ et tout nombre complexe s’écrit $$z=a+ib$$ avec $$a,b\in\mathbb{R}$$.

Explication

Tout complexe possède une écriture unique z=a+ibz=a+ib avec aa et bb réels, et R\mathbb{R} est inclus dans C\mathbb{C}. L’affirmation selon laquelle ii serait réel est fausse, car aucun réel ne vérifie i2=−1i^2=-1.

2. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles numériques est correcte ?

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}
N⊂D⊂Z⊂Q⊂C⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{C}\subset\mathbb{R}
N⊂Z⊂Q⊂D⊂C⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{C}\subset\mathbb{R}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R⊂C\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$$

Explication

Les inclusions s’enchaînent de N\mathbb{N} vers Z\mathbb{Z}, puis D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R} et enfin C\mathbb{C}. Les autres chaînes inversent au moins deux relations d’inclusion.

3. Laquelle de ces écritures est une forme algébrique d’un nombre complexe ?

z=(−4+7)iz=(-4+7)i, avec −4,7∈R-4,7\in\mathbb{R}
z=−4+7iz=-4+7i, avec −4,7∈C-4,7\in\mathbb{C}
z=−4+7iz=-4+7i, avec −4,7∈R-4,7\in\mathbb{R}
z=−4i+7z=-4i+7, avec −4,7∈C-4,7\in\mathbb{C}

$$z=-4+7i$$, avec $$-4,7\in\mathbb{R}$$

Explication

La forme algébrique est z=a+ibz=a+ib avec deux coefficients réels. Les autres propositions modifient la nature des coefficients ou ne présentent pas correctement les coefficients de la partie réelle et de la partie imaginaire.

4. Pour le nombre complexe z=−3+5iz=-3+5i, quelles sont sa partie réelle et sa partie imaginaire ?

Re⁡(z)=5\operatorname{Re}(z)=5 et Im⁡(z)=−3\operatorname{Im}(z)=-3
Re⁡(z)=3\operatorname{Re}(z)=3 et Im⁡(z)=−5\operatorname{Im}(z)=-5
Re⁡(z)=−3i\operatorname{Re}(z)=-3i et Im⁡(z)=5i\operatorname{Im}(z)=5i
Re⁡(z)=−3\operatorname{Re}(z)=-3 et Im⁡(z)=5\operatorname{Im}(z)=5

$$\operatorname{Re}(z)=-3$$ et $$\operatorname{Im}(z)=5$$

Explication

Dans z=a+ibz=a+ib, le coefficient de 11 est la partie réelle et le coefficient de ii est la partie imaginaire. Ici, ces coefficients valent respectivement −3-3 et 55.

5. Lequel des nombres suivants est imaginaire pur mais n’est pas réel ?

44
4i4i
4+2i4+2i
00

$$4i$$

Explication

Un nombre est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle ; 4i4i vérifie cette condition et sa partie imaginaire est non nulle. Le nombre 00 est à la fois réel et imaginaire pur, tandis que 44 est réel.

6. Quelle condition caractérise l’égalité de deux nombres complexes z=a+ibz=a+ib et w=c+idw=c+id ?

ab=cdab=cd
a=ca=c et b=db=d
a=da=d et b=cb=c
a+b=c+da+b=c+d

$$a=c$$ et $$b=d$$

Explication

Deux complexes sont égaux lorsque leurs parties réelles sont égales entre elles et que leurs parties imaginaires le sont également. Une égalité entre les sommes ou les produits des coefficients ne suffit pas à établir cette correspondance.

7. Quelle valeur faut-il utiliser pour simplifier une expression contenant i2i^2 ?

11
−i-i
ii
−1-1

$$-1$$

Explication

Les calculs complexes suivent les règles usuelles, avec la relation fondamentale i2=−1i^2=-1. Remplacer i2i^2 par 11 correspond à une confusion avec une autre hypothèse et donne des résultats erronés.

8. Quelle est la forme algébrique du produit (3−2i)(−1+5i) (3-2i)(-1+5i) ?

7+17i7+17i
−13+17i-13+17i
7−17i7-17i
−13−17i-13-17i

$$7+17i$$

Explication

En développant puis en remplaçant i2i^2 par −1-1, on obtient −3+15i+2i−10i2=7+17i-3+15i+2i-10i^2=7+17i. Le signe du terme réel vient précisément de la substitution −10i2=10-10i^2=10.

9. Si z=4−7iz=4-7i, quelle est l’expression de son conjugué z‾\overline z ?

−4−7i-4-7i
4−7i4-7i
−4+7i-4+7i
4+7i4+7i

$$4+7i$$

Explication

Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire. Ici, la partie réelle reste 44 et −7i-7i devient +7i+7i.

10. Pour z=a+ibz=a+ib, quelle égalité permet d’obtenir directement la partie imaginaire de zz ?

zz‾=2iIm⁡(z)z\overline z=2i\operatorname{Im}(z)
z−z‾=2iIm⁡(z)z-\overline z=2i\operatorname{Im}(z)
z+z‾=2iIm⁡(z)z+\overline z=2i\operatorname{Im}(z)
z−z‾=2Re⁡(z)z-\overline z=2\operatorname{Re}(z)

$$z-\overline z=2i\operatorname{Im}(z)$$

Explication

La différence entre un complexe et son conjugué annule les parties réelles et vaut 2iIm⁡(z)2i\operatorname{Im}(z). La somme, en revanche, fournit 2Re⁡(z)2\operatorname{Re}(z).

11. Quelle condition caractérise un nombre complexe réel zz ?

z=z‾z=\overline z
zz‾=0z\overline z=0
z=−z‾z=-\overline z
z+z‾=0z+\overline z=0

$$z=\overline z$$

Explication

Un complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à l’égalité z=z‾z=\overline z. La relation z=−z‾z=-\overline z caractérise plutôt un imaginaire pur.

12. Pour mettre un quotient complexe sous forme algébrique, par quel nombre faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur ?

Par l’inverse du numérateur
Par le conjugué du numérateur
Par le conjugué du dénominateur
Par la partie réelle du dénominateur

Par le conjugué du dénominateur

Explication

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur afin de rendre ce dernier réel. Utiliser le conjugué du numérateur ne supprime pas nécessairement la partie imaginaire du dénominateur.

13. Si z′=3+4iz'=3+4i, quelle est la forme algébrique de 1z′\frac1{z'} ?

3+4i25\frac{3+4i}{25}
4−3i25\frac{4-3i}{25}
3−4i25\frac{3-4i}{25}
3−4i7\frac{3-4i}{7}

$$\frac{3-4i}{25}$$

Explication

Le dénominateur devient z′z′‾=32+42=25z'\overline{z'}=3^2+4^2=25 et le numérateur est le conjugué 3−4i3-4i. La forme obtenue est donc 3−4i25\frac{3-4i}{25}.

14. Pour des dénominateurs non nuls, quelle relation décrit correctement la conjugaison d’un quotient ?

z/z′‾=z/z′\overline{z/z'}=z/z'
z/z′‾=z‾/z′\overline{z/z'}=\overline z/z'
z/z′‾=z‾/z′‾\overline{z/z'}=\overline z/\overline{z'}
z/z′‾=z/z′‾\overline{z/z'}=z/\overline{z'}

$$\overline{z/z'}=\overline z/\overline{z'}$$

Explication

La conjugaison se distribue au numérateur et au dénominateur d’un quotient, d’où z/z′‾=z‾/z′‾\overline{z/z'}=\overline z/\overline{z'}. Modifier un seul des deux termes ne respecte pas la règle de conjugaison des quotients.

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Que contient l'ensemble des nombres complexes C\mathbb{C} ?

Il contient l'ensemble des nombres réels R\mathbb{R}.

Quel nombre ii caractérise C\mathbb{C} et quelle est sa propriété ?

ii est tel que i2=−1i^2 = -1.

Comment s'écrit tout nombre complexe zz ?

zz s'écrit de manière unique a+iba + ib avec a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}.

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