Fiche de révision : Nombres complexes et binôme de Newton

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme algébrique
2. Conjugué et propriétés opératoires
3. Caractérisation des nombres réels et imaginaires
4. Produit et quotient complexes
5. Binôme de Newton et développements

📖 1. Définition et forme algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des nombres complexes : L’ensemble des nombres complexes, noté C, contient R, possède une addition et une multiplication obéissant aux mêmes règles que dans R, contient un nombre i tel que $i^2=-1$, et tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme $z=a+ib$ avec a et b réels.
• Forme algébrique : Écriture $z=a+ib$ d’un nombre complexe, où a est sa partie réelle, notée Re(z), et b est sa partie imaginaire, notée Im(z).

📝 Points essentiels

📌 Si b=0, alors z est un nombre réel, et si a=0, alors z est un nombre imaginaire pur.

💡 Astuce mémo

Partie réelle a sur l’axe réel, partie imaginaire b devant i

📖 2. Conjugué et propriétés opératoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Pour $z=a+ib$ avec a et b réels, le conjugué de z est le nombre $\bar z=a-ib$.

★ À maîtriser

📌 Pour des nombres complexes z et z’, on a $\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'$ et $\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'.$

Compléments

📌 Pour tout entier naturel m, $\overline{z^m}=\bar z^m.$

📌 Pour tout nombre complexe non nul z, $\frac{1}{\bar z}=\frac{a+ib}{a^2+b^2}$ lorsque $z=a+ib$.

💡 Astuce mémo

Le conjugué réfléchit le point complexe en changeant le signe de b

📖 3. Caractérisation des nombres réels et imaginaires

📝 Points essentiels

📌 Un nombre complexe z est réel si et seulement si $\bar z=z$.

📌 Un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si $\bar z=-z$.

💡 Astuce mémo

Réel : le conjugué reste identique ; imaginaire pur : le conjugué change de signe

📖 4. Produit et quotient complexes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $z=a+ib$, le produit de z par son conjugué vérifie $z\bar z=a^2+b^2$.

• Pour calculer un quotient complexe, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur afin d’obtenir un dénominateur réel.

Compléments

• Pour $z_1=\frac{2-i}{5+i}$, son conjugué s’obtient en conjuguant le numérateur et le dénominateur : $\overline{z_1}=\frac{2+i}{5-i}.$

💡 Astuce mémo

Multiplier par le conjugué → supprimer i au dénominateur et obtenir a²+b²

📖 5. Binôme de Newton et développements

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier naturel m, la formule du binôme de Newton est $(a+b)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}a^k b^{m-k}$ avec $\binom{m}{k}=\frac{m!}{k!(m-k)!}.$

• Le développement de $(1+2i)^4$ donne $1+8i-24-32i+16=-7-24i.$

Compléments

• Les développements jusqu’à la puissance quatre sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ et $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.$

• Le développement fourni de $(2-3i)^5$ aboutit à $-46-9i.$

💡 Astuce mémo

Les coefficients suivent les lignes successives du triangle de Pascal

📊 Tableaux de synthèse

Caractérisation par le conjugué