Fiche de révision : Nombres, puissances et racines

📋 Plan du Cours

1. Propriétés des racines carrées
2. Démonstration par l’absurde
3. Puissances de dix et notation scientifique
4. Définition et propriétés des puissances
5. Calculs avec les nombres réels
6. Ensembles de nombres
7. Représentation et valeur absolue

📖 1. Propriétés des racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : le seul nombre réel positif dont le carré vaut a

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous réels positifs a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📌 Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$ ; ainsi $\sqrt{(-3)^2}=3$ et non -3.

Compléments

• Pour simplifier une expression avec des racines carrées, on peut écrire N = √20 − √45 − 7√5 sous la forme a√b, avec a entier relatif et b entier le plus petit possible.

💡 Astuce mémo

√(a²) donne |a|, jamais directement a si a est négatif

📖 2. Démonstration par l’absurde

📝 Points essentiels

• Pour démontrer par l’absurde qu’une proposition est fausse, on suppose d’abord cette proposition vraie, on raisonne à partir de cette hypothèse jusqu’à une contradiction, puis on conclut que l’hypothèse initiale est fausse.

• Pour montrer que 1/3 n’appartient pas à D, on suppose 1/3 = a/10ⁿ, ce qui donne 3a = 10ⁿ et imposerait que 10ⁿ soit un multiple de 3, alors que la somme de ses chiffres vaut toujours 1.

💡 Astuce mémo

Supposition contraire → contradiction → conclusion

📖 3. Puissances de dix et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : écrit un nombre décimal sous la forme $a\times10^n$ avec $1\leq a<10$ et n entier naturel

📝 Points essentiels

• Les puissances de dix correspondent notamment aux préfixes suivants : 10¹² tera, 10⁹ giga, 10⁶ méga, 10³ kilo, 10² hecto, 10¹ déca, 10⁰ sans préfixe, 10⁻¹ déci, 10⁻² centi, 10⁻³ milli et 10⁻⁶ micro.

• Les écritures scientifiques de 22 000, 0,047, 0,0008, 1,64 et 363 sont respectivement 2,2 × 10⁴, 4,7 × 10⁻², 8 × 10⁻⁴, 1,64 × 10⁰ et 3,63 × 10².

💡 Astuce mémo

Préfixes du tera au micro : 10¹², 10⁹, 10⁶, 10³, 10², 10¹, 10⁰, 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³, 10⁻⁶

📖 4. Définition et propriétés des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un réel a et un entier naturel n, aⁿ est le produit de n facteurs a ; par convention, a⁰ = 1 et a¹ = a.

★ À maîtriser

📌 La puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant est impair.

📐 Formule — Pour des réels non nuls a et b et des entiers relatifs m et n, $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n=a^{mn}$.

📐 Formule — Pour un réel non nul a et un entier naturel n, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

📐 Formule — Pour des réels non nuls a et b et un entier relatif n, $(ab)^n=a^n b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Exposant pair → signe positif ; exposant impair → signe négatif

📖 5. Calculs avec les nombres réels

★ À maîtriser

• L’ordre de priorité est:
  • les parenthèses
  • les produits et les quotients
  • les sommes et les différences

📌 Le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes opposés est négatif.

📐 Formule — Pour additionner deux fractions de dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.

📐 Formule — Pour diviser deux fractions, $\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$.

Compléments

📐 Formule — Pour multiplier deux fractions, $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, avec b et d non nuls.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → produits et quotients → sommes et différences

📖 6. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a/b, avec a entier relatif et b entier naturel non nul
• Nombres décimaux : les nombres qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ou sous la forme a/10ⁿ avec a entier relatif et n naturel
• Nombres irrationnels : les nombres réels qui n’appartiennent pas aux rationnels

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la relation $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

Compléments

• √2 est irrationnel, tandis que 1/3 est rationnel mais non décimal.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 7. Représentation et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux réels : la distance entre les points d’abscisses x et y sur la droite numérique, notée |x−y|
• Valeur absolue : sa distance à 0 ; elle vaut x si x ≥ 0 et −x si x ≤ 0

★ À maîtriser

• À tout point M d’une droite graduée correspond un unique nombre réel x, son abscisse, et réciproquement à tout réel x correspond un unique point.

📌 Si x ≤ y, alors |x−y| = y−x ; si x ≥ y, alors |x−y| = x−y.

Compléments

• Une valeur absolue est toujours un nombre positif ou nul ; ainsi |−5| = 5 et |12| = 12.

💡 Astuce mémo

Chaque réel est un point sur la droite, et |x| mesure sa distance à zéro

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres