QCM : Nombres, puissances et racines — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel a=−3a=-3, quelle est la valeur de a2\sqrt{a^2} ?

−3-3
33
99
−9-9

$$3$$

Explication

La racine carrée de a2a^2 est la valeur absolue de aa, donc (−3)2=∣−3∣=3\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3. Confondre cette expression avec aa conduirait à conserver le signe négatif, ce qui est incorrect.

2. Quelle égalité applique correctement la propriété de la racine carrée d’un produit pour des réels positifs aa et bb ?

ab=ab\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b
a−b=a−b\sqrt{a-b}=\sqrt a-\sqrt b
ab=a+b\sqrt{ab}=\sqrt a+\sqrt b
a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b

$$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$$

Explication

Pour des réels positifs, la racine carrée d’un produit est le produit des racines carrées correspondantes. Une somme sous la racine ne peut pas être séparée selon cette propriété.

3. Quelle condition caractérise la racine carrée d’un réel positif aa ?

C’est tout nombre réel dont le carré vaut aa.
C’est le nombre réel négatif dont le carré vaut aa.
C’est le nombre réel dont le carré vaut −a-a.
C’est le seul nombre réel positif dont le carré vaut aa.

C’est le seul nombre réel positif dont le carré vaut $$a$$.

Explication

La racine carrée d’un réel positif est définie comme l’unique nombre réel positif dont le carré est égal à ce réel. La condition de positivité permet de la distinguer de son opposé, qui possède le même carré.

4. Quelle démarche correspond à une démonstration par l’absurde d’une proposition fausse ?

On suppose la proposition fausse, puis on cherche un exemple qui la confirme.
On vérifie plusieurs cas particuliers, puis on généralise le résultat obtenu.
On suppose la proposition vraie, puis on obtient une contradiction avant de la rejeter.
On transforme directement la proposition jusqu’à obtenir une formule équivalente.

On suppose la proposition vraie, puis on obtient une contradiction avant de la rejeter.

Explication

Une démonstration par l’absurde suppose la proposition vraie et montre que cette hypothèse mène à une contradiction. La contradiction permet alors de conclure que la proposition initiale est fausse.

5. Pourquoi la supposition 13=a10n\frac13=\frac{a}{10^n} mène-t-elle à une contradiction dans la preuve que 13\frac13 n’est pas décimal ?

Elle montrerait que 10n10^n est négatif, alors que toute puissance de dix est positive.
Elle montrerait que 13\frac13 est irrationnel, alors qu’il possède une écriture fractionnaire.
Elle imposerait que aa soit un multiple de 1010, alors que aa est nécessairement impair.
Elle imposerait que 10n10^n soit un multiple de 33, alors que la somme de ses chiffres vaut 11.

Elle imposerait que $$10^n$$ soit un multiple de $$3$$, alors que la somme de ses chiffres vaut $$1$$.

Explication

L’égalité supposée donne 3a=10n3a=10^n, donc 10n10^n devrait être divisible par 33. Or la somme de ses chiffres vaut 11, ce qui exclut cette divisibilité; le fait que 13\frac13 soit rationnel ne suffit pas à le rendre décimal.

6. Laquelle est une écriture en notation scientifique correcte d’un nombre décimal ?

6,4×1056,4\times10^5
64×10564\times10^5
0,64×1050,64\times10^5
−6,4×105-6,4\times10^5

$$6,4\times10^5$$

Explication

En notation scientifique, le coefficient doit être supérieur ou égal à 11 et strictement inférieur à 1010; 6,4×1056,4\times10^5 respecte cette condition. Le coefficient 0,640,64 est trop petit et celui de 6464 est trop grand.

7. Quelle est l’écriture scientifique de 0,00080,0008 ?

8×10−38\times10^{-3}
80×10−580\times10^{-5}
8×10−48\times10^{-4}
0,8×10−40,8\times10^{-4}

$$8\times10^{-4}$$

Explication

Déplacer la virgule de quatre rangs vers la droite donne le coefficient 88, ce qui nécessite l’exposant −4-4. Les écritures avec un coefficient inférieur à 11 ou supérieur à 1010 ne respectent pas la forme normalisée.

8. Quelle valeur est attribuée à a0a^0 pour tout réel aa non nul, et comment se distingue-t-elle de a1a^1 ?

a0=0a^0=0 et a1=aa^1=a
a0=aa^0=a et a1=1a^1=1
a0=1a^0=1 et a1=0a^1=0
a0=1a^0=1 et a1=aa^1=a

$$a^0=1$$ et $$a^1=a$$

Explication

Par convention, toute puissance de degré nul vaut 1, tandis qu’une puissance de degré 1 conserve la base. La confusion fréquente consiste à attribuer à a0a^0 la valeur de la base.

9. Quel est le signe de (−3)7(-3)^7 ?

Négatif, car la base est négative
Négatif, car l’exposant est impair
Positif, car la base est différente de zéro
Positif, car l’exposant est impair

Négatif, car l’exposant est impair

Explication

Une puissance d’un nombre négatif est négative lorsque son exposant est impair. La seule présence d’une base négative ne suffit donc pas à conclure qu’une puissance est positive.

10. Pour des réels non nuls, comment simplifie-t-on le produit a4×a3a^4\times a^3 ?

2a72a^7
a7a^7
a12a^{12}
a1a^1

$$a^7$$

Explication

Dans un produit de puissances de même base, les exposants s’additionnent, ce qui donne a4+3=a7a^{4+3}=a^7. Le produit ne conduit pas à multiplier les exposants, règle qui concerne une puissance de puissance.

11. Comment réécrit-on une puissance à exposant négatif, telle que a−4a^{-4} avec a≠0a\ne0 ?

1a4\frac{1}{a^4}
1a−4\frac{1}{a^{-4}}
a4a^4
−1a4-\frac{1}{a^4}

$$\frac{1}{a^4}$$

Explication

Un exposant négatif transforme la puissance en l’inverse de la puissance correspondante à exposant positif. Le signe moins ne devient pas un signe placé devant la fraction.

12. Dans l’expression 8−2×(3+1)8-2\times(3+1), quelle opération doit être effectuée en premier ?

Additionner les termes numériques visibles
Calculer la parenthèse 3+13+1
Effectuer le produit 2×32\times3
Effectuer la différence 8−28-2

Calculer la parenthèse $$3+1$$

Explication

Les parenthèses sont prioritaires sur les produits, les quotients, les sommes et les différences. Il faut donc commencer par calculer 3+13+1 avant de poursuivre le calcul.

13. Quel est le signe du produit de deux nombres réels de signes opposés ?

Négatif
Positif
Nul
Il dépend de la valeur absolue des facteurs

Négatif

Explication

Le produit de deux nombres de signes opposés est négatif. La valeur absolue des facteurs influence la grandeur du produit, mais pas son signe.

14. Quelle expression permet d’additionner les fractions ab\frac{a}{b} et cd\frac{c}{d} lorsque bb et dd sont non nuls ?

ad+bcbd\frac{ad+bc}{bd}
a+cb+d\frac{a+c}{b+d}
ad+bcb+d\frac{ad+bc}{b+d}
ac+bdab\frac{ac+bd}{ab}

$$\frac{ad+bc}{bd}$$

Explication

La mise au dénominateur commun donne ab=adbd\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd} et cd=bcbd\frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}, donc la somme vaut ad+bcbd\frac{ad+bc}{bd}. Additionner directement les numérateurs et les dénominateurs ne conserve pas la valeur de la somme.

15. Comment calcule-t-on le quotient a/bc/d\frac{a/b}{c/d} lorsque les dénominateurs et diviseurs sont valides ?

a+cb+d\frac{a+c}{b+d}
ab×dc=adbc\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}
ab×cd=adbc\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}
ab×cd=acbd\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

$$\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$$

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par sa fraction inverse, donc par dc\frac{d}{c}. La multiplication par cd\frac{c}{d} correspondrait à une multiplication de fractions et non à leur division.

16. Quelle caractérisation définit un nombre rationnel ?

Un nombre qui s’écrit ab\frac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb Z et b∈N∗b\in\mathbb N^*
Un nombre réel qui ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers
Un nombre dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres
Un nombre qui appartient à N\mathbb N mais pas à Z\mathbb Z

Un nombre qui s’écrit $$\frac{a}{b}$$ avec $$a\in\mathbb Z$$ et $$b\in\mathbb N^*$$

Explication

Un rationnel est représentable par le quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul. Une écriture décimale finie caractérise plus précisément les nombres décimaux, qui forment un sous-ensemble des rationnels.

17. Lequel de ces nombres est rationnel mais non décimal ?

710\frac{7}{10}
0,750,75
−2-2
13\frac{1}{3}

$$\frac{1}{3}$$

Explication

La fraction 13\frac{1}{3} est rationnelle, mais son écriture décimale est périodique et non finie, donc elle n’est pas décimale. Les autres nombres proposés possèdent une écriture décimale finie.

18. Quelle relation d’inclusion décrit correctement les ensembles de nombres usuels ?

Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb Z\subset\mathbb N\subset\mathbb Q\subset\mathbb D\subset\mathbb R
N⊂D⊂Z⊂Q⊂R\mathbb N\subset\mathbb D\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R
R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb R\subset\mathbb Q\subset\mathbb D\subset\mathbb Z\subset\mathbb N

$$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$$

Explication

Chaque ensemble est contenu dans le suivant : les naturels sont des entiers, les entiers sont des décimaux, les décimaux sont des rationnels, et les rationnels sont des réels. Les irrationnels sont également réels, mais ils ne sont pas inclus dans les rationnels.

19. Sur une droite graduée, que représente le nombre réel associé à un point M ?

L’abscisse du point M
Le signe indiqué par le point M
La distance entre M et l’origine
La valeur absolue du point M

L’abscisse du point M

Explication

Le réel associé à un point d’une droite graduée est son abscisse, et chaque point possède une abscisse unique. La distance à l’origine correspond plutôt à la valeur absolue de cette abscisse.

20. Comment définit-on la distance entre deux nombres réels xx et yy sur une droite numérique ?

Par la valeur ∣x−y∣|x-y|
Par la somme x+yx+y
Par le produit xyxy
Par la différence signée x−yx-y

Par la valeur $$|x-y|$$

Explication

La distance entre les points d’abscisses xx et yy est notée ∣x−y∣|x-y|, car elle ne dépend pas de l’ordre des deux nombres. La différence signée x−yx-y peut être négative et ne représente donc pas toujours une distance.

21. Si x≤yx \leq y, quelle expression représente la distance entre xx et yy ?

x+yx+y
∣x+y∣|x+y|
x−yx-y
y−xy-x

$$y-x$$

Explication

Lorsque x≤yx \leq y, on a ∣x−y∣=y−x|x-y|=y-x, car on soustrait la plus petite abscisse de la plus grande. L’expression x−yx-y serait alors négative ou nulle et ne correspondrait pas à la distance recherchée.

22. Quelle est la valeur de ∣−7∣|-7| et quelle interprétation permet de l’obtenir ?

00, car la distance est mesurée depuis zéro
−0,7-0,7, car la valeur est divisée par dix
77, car c’est la distance de −7-7 à zéro
−7-7, car le nombre reste négatif

$$7$$, car c’est la distance de $$-7$$ à zéro

Explication

La valeur absolue d’un réel est sa distance à zéro ; ainsi, pour un nombre négatif, ∣x∣=−x|x|=-x et ∣−7∣=7|-7|=7. Conserver le signe négatif confond le nombre lui-même avec la distance qui le sépare de zéro.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 44 flashcards sur Nombres, puissances et racines.

Quelle formule relie ab\sqrt{ab} à a\sqrt a et b\sqrt b pour réels positifs ?

ab=a×b\sqrt{ab} = \sqrt a \times \sqrt b.

Comment s'exprime ab\sqrt{\frac{a}{b}} avec a\sqrt a et b\sqrt b ?

ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}.

Que vaut a2\sqrt{a^2} pour tout réel a ?

a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Nombres, puissances et racines.

Voir la fiche →

Cours similaires

Approche différentielle en psychologie

Nombres complexes et binôme de Newton

Mathématiques

Unicité moléculaire et biomolécules

SVT

Origine de la vie sur Terre

SVT

Acides aminés et propriétés physico-chimiques

Introduction à la biologie cellulaire

SVT

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM