Fiche de révision : Trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et factorisation
2. Résolution des équations
3. Somme et produit des racines
4. Fonction polynôme du second degré
5. Forme canonique et parabole
6. Variations et représentation graphique

📖 1. Discriminant et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : réel $\Delta=b^2-4ac$

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec $x_0=\frac{-b}{2a}$, tandis que si $\Delta<0$, le trinôme ne peut pas s’écrire comme le produit de deux polynômes du premier degré.

Compléments

• Pour $f(x)=3x^2+x-2$, le discriminant vaut $\Delta=1^2-4\times3\times(-2)=25$.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux facteurs ; nul : un carré ; négatif : pas de factorisation réelle

📖 2. Résolution des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\ne0$
• Racines du trinôme : solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$, lorsqu’elles existent

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta>0$, l’équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation admet une unique solution réelle $x_0=\frac{-b}{2a}$, tandis que si $\Delta<0$, elle n’admet aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ > 0 donne deux solutions, Δ = 0 une seule, Δ < 0 aucune solution réelle

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, alors leur somme vérifie $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$.

📐 Formule — Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, alors leur produit vérifie $x_1\times x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $P(x)=-x^2+2x+3$, le discriminant vaut $16$ et les racines vérifient $x_1+x_2=2$ et $x_1\times x_2=-3$.

💡 Astuce mémo

Somme S = −b/a, produit P = c/a

📖 4. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : fonction définie sur R qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\ne0$
• Forme développée : L’expression $ax^2+bx+c$

📖 5. Forme canonique et parabole

📝 Points essentiels

📐 Formule — Toute fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=\frac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

• La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et d’axe de symétrie d’équation $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine l’ouverture de la parabole et le sens des variations

📖 6. Variations et représentation graphique

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la fonction est strictement décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$, et elle admet un minimum égal à $\beta$ atteint en $x=\alpha$.

Compléments

📌 Une parabole associée à $a>0$ est tournée vers le haut, tandis qu’une parabole associée à $a<0$ est tournée vers le bas.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum et parabole vers le haut ; a < 0 : maximum et parabole vers le bas

📊 Tableaux de synthèse

Effet du discriminant