Fiche de révision : Arithmétique des entiers

📋 Plan du Cours

1. Parité et carrés entiers
2. Nombres premiers et factorisation
3. Ensembles numériques
4. Multiples et divisibilité

📖 1. Parité et carrés entiers

★ À maîtriser

📐 Formule — Le carré d’un entier impair s’écrit $n^2 = (2k+1)^2 = 2(2k^2+2k)+1$ et est donc impair.

📐 Formule — Le carré d’un entier pair s’écrit $n^2=(2K)^2=4K^2$ et est donc un multiple de 4.

Compléments

• La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire, car $n+(n+1)=2n+1$.

💡 Astuce mémo

Pair = 2k ; impair = 2k + 1

📖 2. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : s’il possède exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.

• Pour déterminer si un entier n est premier, on teste sa divisibilité par tous les nombres premiers compris entre 2 et $\sqrt n$ ; s’il n’est divisible par aucun, il est premier.

Compléments

• Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 et 41.

• Les décompositions en facteurs premiers sont $72=2^3\times3^2$ et $980=2^2\times5\times7^2$.

• 91 est composé car $91=7\times13$, tandis que 113 est premier car il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à 10,6.

• 187 n’est pas premier car $187=17\times11$.

💡 Astuce mémo

Tester les premiers jusqu’à √n, puis conclure

📖 3. Ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels est noté N.
• Entiers relatifs : L’ensemble des entiers relatifs est noté Z.

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs, ce qui se note $N\subset Z$.

💡 Astuce mémo

Les entiers naturels sont contenus dans les entiers relatifs : N ⊂ Z

📖 4. Multiples et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Pour deux entiers relatifs a et b, b est un multiple de a s’il existe un entier relatif k tel que $b=ka$.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier a est encore un multiple de a, car si $m=ka$ et $m'=k'a$, alors $m+m'=a(k+k')$.

• Pour obtenir la décomposition du pgcd de deux nombres factorisés, on conserve les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.

Compléments

• 18 est un multiple de 3 car $18=6\times3$ ; ainsi, 3 est un diviseur de 18.

• Les diviseurs naturels de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18, tandis que ses diviseurs relatifs sont -18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9 et 18.

• Comme $72=2^3\times3^2$ et $980=2^2\times5\times7^2$, leur pgcd vaut $2^2=4$.

• Comme $180=2^2\times3^2\times5$ et $168=2^3\times3\times7$, leur pgcd vaut $2^2\times3=12$.

💡 Astuce mémo

b = ka entraîne que a divise b

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles d’entiers