QCM : Arithmétique des entiers — 11 questions

Question 1

1. Pour vérifier qu’un entier naturel $n$ est premier, quels diviseurs faut-il tester ?

Les nombres premiers strictement supérieurs à

\sqrt n

Tous les nombres premiers compris entre 2 et

\sqrt n

Les seuls nombres pairs compris entre 2 et

n

Tous les entiers naturels compris entre 1 et

n

Explication

Il suffit de tester les nombres premiers compris entre 2 et $\sqrt n$ : si aucun ne divise $n$ , alors $n$ est premier. Tester les nombres au-delà de $\sqrt n$ n’est pas le critère indiqué pour cette vérification.

Answer

Tous les nombres premiers compris entre 2 et $$\sqrt n$$

Question 2

2. Si un entier pair s’écrit $n=2K$ , quelle forme prend son carré et quelle propriété permet-elle d’en déduire ?

n^2=2K+1

, donc le carré laisse un reste de 1

n^2=4K^2

, donc le carré est un multiple de 4

n^2=2K^2

, donc le carré est un nombre pair

n^2=4K+1

, donc le carré est un nombre impair

Explication

En élevant $n=2K$ au carré, on obtient $n^2=4K^2$ , qui est divisible par 4. L’expression $2K^2$ caractérise une autre forme de divisibilité et ne découle pas du développement du carré.

Answer

$$n^2=4K^2$$, donc le carré est un multiple de 4

Question 3

3. Quelle affirmation décrit correctement la décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel supérieur ou égal à 2 ?

Elle est unique, à l’ordre des facteurs près

Elle s’applique aux nombres naturels inférieurs à 2

Elle dépend du choix des facteurs utilisés au départ

Elle comporte nécessairement deux facteurs premiers distincts

Explication

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède une décomposition unique en facteurs premiers, en ne tenant pas compte de l’ordre des facteurs. Une écriture multiplicative quelconque peut varier, mais la factorisation première est déterminée.

Answer

Elle est unique, à l’ordre des facteurs près

Question 4

4. Quelle notation désigne l’ensemble des entiers naturels ?

Z

N

N\subset Z

\sqrt N

Explication

L’ensemble des entiers naturels est noté $N$ . La lettre $Z$ désigne l’ensemble des entiers relatifs, tandis que $N\subset Z$ exprime une relation d’inclusion.

Answer

$$N\subset Z$$

Answer

$$18=6\times3$$

Answer

$$m+m'=a(k+k')$$

Answer

Il possède exactement deux diviseurs naturels : 1 et lui-même

Answer

Son carré est impair, car il s’écrit sous la forme $$2m+1$$

Answer

Garder les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant

Answer

L’ensemble des entiers relatifs, noté $$Z$$

Question 5

5. Comment s’écrit l’inclusion des entiers naturels dans les entiers relatifs ?

N=Z

Z\subset N

N\subset Z

N\cap Z=\varnothing

Explication

Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note $N\subset Z$ . L’égalité serait fausse puisque $Z$ contient aussi les entiers négatifs, absents de $N$ .

Question 6

6. Quelle égalité traduit correctement le fait que 18 est un multiple de 3 ?

18=3+6

18=6\times3

3=6\times18

3=18-6

Explication

Un entier est un multiple de 3 lorsqu’il peut s’écrire comme le produit de 3 par un entier relatif, ce qui donne ici $18=6\times3$ . L’égalité $3=6\times18$ ne décrit pas la relation entre 18 et 3 et inverse leur rôle numérique.

Question 7

7. Si $m=ka$ et $m'=k'a$ , quelle expression montre que leur somme est un multiple de $a$ ?

m+m'=a(k-k')

m+m'=k+k'+a

m+m'=kk'a

m+m'=a(k+k')

Explication

En additionnant les deux écritures, on obtient $m+m'=ka+k'a=a(k+k')$ , donc la somme possède encore le facteur $a$ . L’expression $a(k-k')$ correspondrait à une différence de multiples, pas à leur somme.

Question 8

8. Quelle condition définit un nombre entier naturel premier ?

Il est divisible par un nombre pair et par un nombre impair

Il peut s’écrire comme le produit de deux entiers naturels distincts

Il possède au moins trois diviseurs naturels distincts

Il possède exactement deux diviseurs naturels : 1 et lui-même

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs naturels, 1 et lui-même. Un entier ayant davantage de diviseurs est composé, tandis qu’une écriture comme produit de deux facteurs ne caractérise pas un nombre premier.

Question 9

9. Quelle conclusion peut-on tirer du carré d’un entier impair écrit sous la forme $n=2k+1$ ?

Son carré vaut toujours 1, quel que soit l’entier impair

Son carré est impair, car il s’écrit sous la forme

2m+1

Son carré est un multiple de 4, comme tout carré entier

Son carré est pair, car il contient le facteur

2k

Explication

Le développement donne $n^2=2(2k^2+2k)+1$ , une expression de la forme $2m+1$ , donc un nombre impair. La divisibilité par 4 concerne le carré d’un entier pair, pas celui d’un entier impair.

Question 10

10. Pour déterminer le pgcd de deux nombres déjà factorisés, quelle méthode faut-il appliquer ?

Additionner les exposants des facteurs premiers communs

Garder tous les facteurs premiers présents avec le plus grand exposant

Garder les facteurs premiers non communs avec le plus petit exposant

Garder les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant

Explication

La décomposition du pgcd conserve chaque facteur premier commun aux deux nombres, en lui attribuant le plus petit exposant rencontré. Prendre le plus grand exposant correspond plutôt à la construction du ppcm pour les facteurs communs et non communs.

Question 11

11. Quel ensemble contient les entiers positifs et négatifs, ainsi que zéro ?

L’ensemble des entiers naturels, noté

N

L’ensemble des entiers relatifs, noté

Z

L’ensemble des carrés parfaits, noté

C

L’ensemble des nombres premiers, noté

P

Explication

Les entiers relatifs, notés $Z$ , regroupent les entiers positifs, négatifs et zéro. L’ensemble $N$ correspond aux entiers naturels et ne désigne pas l’ensemble général des entiers relatifs.

QCM : Arithmétique des entiers — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour vérifier qu’un entier naturel $n$ est premier, quels diviseurs faut-il tester ?

2. Si un entier pair s’écrit $n=2K$ , quelle forme prend son carré et quelle propriété permet-elle d’en déduire ?

3. Quelle affirmation décrit correctement la décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel supérieur ou égal à 2 ?

4. Quelle notation désigne l’ensemble des entiers naturels ?

5. Comment s’écrit l’inclusion des entiers naturels dans les entiers relatifs ?

6. Quelle égalité traduit correctement le fait que 18 est un multiple de 3 ?

7. Si $m=ka$ et $m'=k'a$ , quelle expression montre que leur somme est un multiple de $a$ ?

8. Quelle condition définit un nombre entier naturel premier ?

9. Quelle conclusion peut-on tirer du carré d’un entier impair écrit sous la forme $n=2k+1$ ?

10. Pour déterminer le pgcd de deux nombres déjà factorisés, quelle méthode faut-il appliquer ?

11. Quel ensemble contient les entiers positifs et négatifs, ainsi que zéro ?

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Questions et réponses du QCM

1. Pour vérifier qu’un entier naturel nnn est premier, quels diviseurs faut-il tester ?

2. Si un entier pair s’écrit n=2Kn=2Kn=2K, quelle forme prend son carré et quelle propriété permet-elle d’en déduire ?

3. Quelle affirmation décrit correctement la décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel supérieur ou égal à 2 ?

4. Quelle notation désigne l’ensemble des entiers naturels ?

5. Comment s’écrit l’inclusion des entiers naturels dans les entiers relatifs ?

6. Quelle égalité traduit correctement le fait que 18 est un multiple de 3 ?

7. Si m=kam=kam=ka et m′=k′am'=k'am′=k′a, quelle expression montre que leur somme est un multiple de aaa ?

8. Quelle condition définit un nombre entier naturel premier ?

9. Quelle conclusion peut-on tirer du carré d’un entier impair écrit sous la forme n=2k+1n=2k+1n=2k+1 ?

10. Pour déterminer le pgcd de deux nombres déjà factorisés, quelle méthode faut-il appliquer ?

11. Quel ensemble contient les entiers positifs et négatifs, ainsi que zéro ?

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2. Si un entier pair s’écrit $n=2K$ , quelle forme prend son carré et quelle propriété permet-elle d’en déduire ?

7. Si $m=ka$ et $m'=k'a$ , quelle expression montre que leur somme est un multiple de $a$ ?

9. Quelle conclusion peut-on tirer du carré d’un entier impair écrit sous la forme $n=2k+1$ ?