QCM : Trinômes du second degré — 10 questions

Question 1

1. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle expression définit son discriminant ?

\Delta=4ac-b^2

\Delta=b^2+4ac

\Delta=b^2-4ac

\Delta=\sqrt{b^2-4ac}

Explication

Le discriminant est calculé par la différence $b^2-4ac$ . La racine carrée de cette quantité intervient ensuite dans les formules des racines, mais elle ne définit pas le discriminant lui-même.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 2

2. Quelle est la définition du discriminant d'un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

Le discriminant est la valeur

a^2 + b^2 + c^2

qui indique si le trinôme est factorisable.

Le discriminant est le produit des racines du trinôme, soit

x_1 \times x_2

.

Le discriminant est la valeur

b^2-4ac

qui permet de déterminer la nature des racines du trinôme.

Le discriminant est la somme des racines du trinôme, soit

x_1 + x_2

.

Explication

Le discriminant $\triangle = b^2 - 4ac$ permet de connaître le nombre et la nature des solutions réelles de l'équation. La somme et le produit des racines sont donnés par d'autres formules, mais ne définissent pas le discriminant.

Answer

Le discriminant est la valeur $$b^2-4ac$$ qui permet de déterminer la nature des racines du trinôme.

Question 3

3. Quelle forme factorisée obtient-on pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta=0$ ?

a(x-x_1)(x-x_2)

avec deux racines distinctes

a(x-x_0)^2

avec

x_0=\frac{-b}{2a}

a(x+x_0)^2

avec

x_0=\frac{b}{2a}

Un produit de deux polynômes du premier degré à coefficients complexes

Explication

Lorsque le discriminant est nul, les deux racines se confondent en $x_0=\frac{-b}{2a}$ , ce qui donne le carré $a(x-x_0)^2$ . La factorisation en deux facteurs distincts correspond au cas $\Delta>0$ .

Answer

$$a(x-x_0)^2$$ avec $$x_0=\frac{-b}{2a}$$

Question 4

4. Quelle est la formule du discriminant d'un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

\text{Discriminant} = a^2 + b^2 + c^2

\text{Discriminant} = b^2 + 4ac

\text{Discriminant} = b^2 - 4ac

\text{Discriminant} = 4a^2 - b^2

Explication

Le discriminant d'un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ est défini par $\text{Discriminant} = b^2 - 4ac$ , ce qui permet de déterminer la nature des racines. La deuxième option est une formule pour la norme d'un vecteur, pas pour un discriminant.

Answer

$$\text{Discriminant} = b^2 - 4ac$$

Question 5

5. Laquelle de ces équations est bien une équation du second degré ?

5x^2-2x=3x^2+4

6x^3+x-1=0

4x-7=0

3x^2-5x+2=0

Explication

Une équation du second degré s’écrit sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ . L’équation proposée respecte cette forme, tandis que les autres sont de degré différent ou ne sont pas réduites sous la forme attendue.

Answer

$$3x^2-5x+2=0$$

Question 6

6. Quel est le rôle principal du discriminant $\triangle=b^2-4ac$ dans la résolution d'une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ ?

Déterminer le nombre et la nature des solutions réelles de l'équation.

Calculer la valeur exacte des racines de l'équation.

Identifier si le trinôme peut être exprimé sous forme factorisée ou non.

Faciliter la factorisation du trinôme en produits de premiers degrés.

Explication

Le discriminant $\triangle$ indique si l'équation du second degré possède deux solutions réelles, une seule ou aucune, en fonction de sa valeur. La factorisation ou la recherche des racines ne se fait pas directement à partir du discriminant, mais celui-ci guide la nature des solutions.

Answer

Déterminer le nombre et la nature des solutions réelles de l'équation.

Question 7

7. Combien de solutions réelles possède une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

Une infinité de solutions réelles

Deux solutions réelles distinctes

Une solution réelle double

Aucune solution réelle

Explication

Un discriminant négatif ne permet pas d’extraire une racine carrée réelle dans la formule des solutions, donc l’équation n’a aucune solution réelle. Une solution double apparaît lorsque $\Delta=0$ , et deux solutions distinctes lorsque $\Delta>0$ .

Answer

Aucune solution réelle

Question 8

8. Quand la formule de la fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ a-t-elle été établie pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?

Au XVIIIe siècle, avec la formalisation de l'algèbre par Euler.

Au XIXe siècle, avec le développement de l'algèbre moderne.

Au XVIIe siècle, lors des travaux de Descartes.

Au XVIe siècle, durant la Renaissance, par des mathématiciens italiens.

Explication

La formule de la fonction du second degré a été formalisée au XVIIe siècle, notamment par Descartes, qui a contribué à la systématisation de l'algèbre. Les autres options correspondent à des périodes où l'algèbre était encore en développement ou moins formalisée.

Answer

Au XVIIe siècle, lors des travaux de Descartes.

Question 9

9. En quoi la forme canonique $f(x)=a(x-\text{ extalpha})^2+ extbeta$ diffère-t-elle de la forme développée $ax^2+bx+c$ pour une fonction polynôme du second degré ?

La forme canonique est une approximation de la forme développée, valable uniquement pour de petites valeurs de

x

.

La forme canonique est utilisée uniquement pour les paraboles tournées vers le haut, alors que la forme développée concerne toutes les paraboles.

La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole, tandis que la forme développée exprime directement le polynôme.

La forme canonique ne permet pas de déterminer le sommet de la parabole, contrairement à la forme développée.

Explication

La forme canonique $f(x)=a(x-\text{ extalpha})^2+ extbeta$ met en évidence le sommet de la parabole, ce qui facilite l'étude de ses variations, contrairement à la forme développée. La forme développée donne directement l'expression du polynôme sans indiquer explicitement le sommet.

Answer

La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole, tandis que la forme développée exprime directement le polynôme.

Question 10

10. Qui est crédité de la formulation de la représentation graphique d'une parabole à partir de la forme canonique $f(x)=a(x-\text{\alpha})^2+\text{\beta}$ ?

C'est Carl Friedrich Gauss qui a proposé cette formule.

C'est Joseph-Louis Lagrange qui a développé cette représentation.

C'est René Descartes qui a introduit cette méthode.

C'est Augustin-Louis Cauchy qui a formulé cette représentation.

Explication

Joseph-Louis Lagrange est connu pour avoir développé la forme canonique et la représentation graphique associée des fonctions du second degré. Des autres figures comme Descartes, Gauss ou Cauchy ont contribué à d'autres aspects des mathématiques, mais pas spécifiquement à cette représentation.

Answer

C'est Joseph-Louis Lagrange qui a développé cette représentation.

QCM : Trinômes du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle expression définit son discriminant ?

2. Quelle est la définition du discriminant d'un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

3. Quelle forme factorisée obtient-on pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta=0$ ?

4. Quelle est la formule du discriminant d'un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

5. Laquelle de ces équations est bien une équation du second degré ?

6. Quel est le rôle principal du discriminant $\triangle=b^2-4ac$ dans la résolution d'une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ ?

7. Combien de solutions réelles possède une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

8. Quand la formule de la fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ a-t-elle été établie pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?

9. En quoi la forme canonique $f(x)=a(x-\text{ extalpha})^2+ extbeta$ diffère-t-elle de la forme développée $ax^2+bx+c$ pour une fonction polynôme du second degré ?

10. Qui est crédité de la formulation de la représentation graphique d'une parabole à partir de la forme canonique $f(x)=a(x-\text{\alpha})^2+\text{\beta}$ ?

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QCM : Trinômes du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0, quelle expression définit son discriminant ?

2. Quelle est la définition du discriminant d'un trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

3. Quelle forme factorisée obtient-on pour un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

4. Quelle est la formule du discriminant d'un trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

5. Laquelle de ces équations est bien une équation du second degré ?

6. Quel est le rôle principal du discriminant △=b2−4ac\triangle=b^2-4ac△=b2−4ac dans la résolution d'une équation du second degré ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

7. Combien de solutions réelles possède une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

8. Quand la formule de la fonction polynôme du second degré f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c a-t-elle été établie pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?

9. En quoi la forme canonique f(x)=a(x− extalpha)2+extbetaf(x)=a(x-\text{ extalpha})^2+ extbetaf(x)=a(x− extalpha)2+extbeta diffère-t-elle de la forme développée ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c pour une fonction polynôme du second degré ?

10. Qui est crédité de la formulation de la représentation graphique d'une parabole à partir de la forme canonique f(x)=a(x−\alpha)2+\betaf(x)=a(x-\text{\alpha})^2+\text{\beta}f(x)=a(x−\alpha)2+\beta ?

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1. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle expression définit son discriminant ?

2. Quelle est la définition du discriminant d'un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

3. Quelle forme factorisée obtient-on pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta=0$ ?

4. Quelle est la formule du discriminant d'un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

6. Quel est le rôle principal du discriminant $\triangle=b^2-4ac$ dans la résolution d'une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ ?

7. Combien de solutions réelles possède une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

8. Quand la formule de la fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ a-t-elle été établie pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?

9. En quoi la forme canonique $f(x)=a(x-\text{ extalpha})^2+ extbeta$ diffère-t-elle de la forme développée $ax^2+bx+c$ pour une fonction polynôme du second degré ?

10. Qui est crédité de la formulation de la représentation graphique d'une parabole à partir de la forme canonique $f(x)=a(x-\text{\alpha})^2+\text{\beta}$ ?