Fiche de révision : Nombres complexes et fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Équations complexes du second degré
2. Factorisation des polynômes complexes
3. Géométrie des nombres complexes
4. Cercles et lieux géométriques
5. Transformations du plan complexe
6. Similitudes directes
7. Limites logarithmiques
8. Limites exponentielles
9. Continuité et dérivabilité
10. Variations et courbes
11. Fonctions réciproques et aires

📖 1. Équations complexes du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une équation du second degré $az^2+bz+c=0$ avec $a\ne0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et les racines s’obtiennent par $z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• L’équation $z^2-2\sqrt3z+4=0$ a pour solutions $z=\sqrt3-i$ et $z=\sqrt3+i$.

📐 Formule — Pour l’équation $z^2-(2+mi)z+2+mi-m=0$, le discriminant se factorise sous la forme $\Delta=[(m-2)i]^2$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → déterminer sa racine carrée → appliquer la formule des racines

📖 2. Factorisation des polynômes complexes

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation polynomiale lorsqu’une racine est indiquée, on vérifie cette racine, on factorise le polynôme par le facteur correspondant, puis on résout le polynôme restant.

Compléments

• Le polynôme $z^3-7z^2+(19+5i)z-18-30i$ admet la racine $2i$ et se factorise en $(z-2i)[z^2-(7-2i)z+15-9i]$.

• Le polynôme $P(z)=z^4+(4-3i)z^2+(7-9i)z-18-6i$ admet les racines $-2$ et $-3i$, puis les racines $1+i$ et $1+2i$.

💡 Astuce mémo

Racine connue → facteur du premier degré → résolution du facteur restant

📖 3. Géométrie des nombres complexes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des points d’affixes A, B et C, le quotient $\frac{z_A-z_C}{z_B-z_C}$ permet d’étudier leur alignement lorsqu’il est réel.

Compléments

• Dans l’exercice sur les points A, B, C et D, les quotients $Q_1=\frac{z_A-z_C}{z_B-z_C}$ et $Q_2=\frac{z_A-z_D}{z_B-z_D}$ sont utilisés pour démontrer que les quatre points sont cocycliques.

• Les affixes $z_B=3+i$ et $z_C=-3+i$ s’écrivent sous forme trigonométrique pour vérifier qu’ils sont, avec $z_A=-2i$, les racines cubiques de $8i$.

💡 Astuce mémo

Quotient réel : alignement ; quotient de même module : cocyclicité

📖 4. Cercles et lieux géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — L’ensemble des points M vérifiant $|z-z_A|=r$ est le cercle de centre A et de rayon r.

• L’ensemble des points M vérifiant $|z-z_A|=|z-z_B|$ est la médiatrice du segment [AB].

Compléments

• L’ensemble vérifiant $|2iz-2-4i|=25$ se réécrit comme une équation de cercle après mise sous la forme d’une distance entre z et une affixe fixe.

💡 Astuce mémo

Un point z se déplace sur un cercle lorsque sa distance à un centre reste constante

📖 5. Transformations du plan complexe

★ À maîtriser

📐 Formule — Une translation de vecteur d’affixe u s’écrit $z'=z+u$.

📐 Formule — Une homothétie de centre d’affixe ω et de rapport k s’écrit $z'-\omega=k(z-\omega)$.

Compléments

• La translation de vecteur d’affixe 4 qui transforme le point B d’affixe $1+2i$ donne au point image D l’affixe $5+2i$.

💡 Astuce mémo

Translation : ajout ; homothétie : multiplication réelle ; rotation : multiplication complexe

📖 6. Similitudes directes

★ À maîtriser

📐 Formule — Une similitude directe de centre d’affixe ω, de rapport k et d’angle θ s’écrit $z'-\omega=ke^{i\theta}(z-\omega)$.

Compléments

• La rotation de centre d’affixe $3-i$ et d’angle $-\frac{\pi}{2}$ s’écrit $z'-(3-i)=e^{-i\pi/2}(z-(3-i))$.

• La symétrie centrale de centre d’affixe $1+i$ s’écrit $z'-(1+i)=-(z-(1+i))$.

💡 Astuce mémo

Centre → rapport → angle → écriture complexe

📖 7. Limites logarithmiques

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée du logarithme népérien sur son domaine de définition vérifie $\left(\ln x\right)'=\frac1x$.

• Pour calculer une limite logarithmique, on commence par déterminer le domaine, puis on compare la croissance du logarithme avec celle des puissances et on utilise les transformations algébriques nécessaires.

Compléments

• L’étude proposée comprend notamment la limite $\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}(\ln x)^{10}$.

📖 8. Limites exponentielles

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée de l’exponentielle vérifie $\left(e^x\right)'=e^x$.

• Les exercices de limites utilisent le fait que l’exponentielle domine les puissances lorsque $x\to+\infty$ et que les produits d’une puissance par $e^x$ tendent vers zéro lorsque $x\to-\infty$.

Compléments

• Parmi les limites proposées figure $\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$, qui exploite le comportement de l’exponentielle au voisinage de zéro.

💡 Astuce mémo

À +∞, l’exponentielle domine les puissances ; à −∞, elle tend vers zéro

📖 9. Continuité et dérivabilité

★ À maîtriser

• Pour étudier une fonction définie par morceaux en un point de raccord, on détermine le domaine, compare les limites latérales à la valeur de la fonction, puis compare les dérivées latérales.

📌 Une fonction définie par morceaux est continue en un point de raccord lorsque ses deux limites latérales existent et sont égales à la valeur de la fonction en ce point.

Compléments

• Pour la fonction donnée par $f(x)=e^{2x}$ si $x\le0$ et $f(x)=\frac{\ln x}{-1+\ln x}$ si $x>0$, on obtient $f(0)=1$ et les dérivées latérales en 0 valent respectivement 2 et $-\infty$.

💡 Astuce mémo

Domaine → limites latérales → continuité → dérivées latérales

📖 10. Variations et courbes

★ À maîtriser

📌 Le signe de la dérivée détermine les variations d’une fonction : une dérivée positive indique une croissance et une dérivée négative une décroissance sur l’intervalle considéré.

• Dans l’étude de la fonction du sujet type 1, la courbe possède les asymptotes horizontales $y=0$ en $-\infty$ et $y=1$ en $+\infty$, ainsi qu’une asymptote verticale $x=e$.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=3x+1-xe^{-x}$, la droite $y=3x+1$ est une asymptote en $+\infty$ et la courbe admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → variations → tangentes, asymptotes et représentation

📖 11. Fonctions réciproques et aires

★ À maîtriser

📌 La restriction d’une fonction strictement monotone à un intervalle est bijective sur son image et admet une fonction réciproque sur cet intervalle image.

📐 Formule — L’aire comprise entre une courbe positive et l’axe des abscisses entre $x=-1$ et $x=0$ se calcule par $A=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx$.

Compléments

• Pour $f(x)=e^{2x}$ sur $[-1{,}0]$, l’aire calculée avec une unité graphique de 2 cm vaut $A=4(1-e^{-2})\,\mathrm{cm}^2$.

📊 Tableaux de synthèse

Transformations complexes