Fiche de révision : Suites et séries d’intégrales

📋 Plan du Cours

1. Convergence simple et domination
2. Convergence dominée paramétrique
3. Intégration terme à terme positive
4. Intégration terme à terme générale
5. Formules de séries utiles

📖 1. Convergence simple et domination

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence simple : La suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si, pour tout $t\\in I$, $\\lim_{n\\to+\\infty} f_n(t)=f(t)$.

★ À maîtriser

📌 Si $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $I$ et s'il existe une fonction positive intégrable $\\varphi$ telle que $|f_n(t)|\\leq\\varphi(t)$ pour tout $n$ et tout $t$, alors les $f_n$ et $f$ sont intégrables et $\\lim_{n\\to+\\infty}\\int_I f_n=\\int_I f$.

Compléments

• Pour trouver une fonction dominante, on peut utiliser $f_0$ si la suite est positive et décroissante, sa limite si elle est positive et croissante, une fonction constante si $I$ est borné, ou des inégalités usuelles comme $|\\sin t|\\leq1$ et $\\ln(1+t)\\leq t$ pour $t>-1$.

💡 Astuce mémo

Convergence simple + domination intégrable → échange limite-intégrale

📖 2. Convergence dominée paramétrique

★ À maîtriser

📌 Pour une famille (f_\\lambda)_{\\lambda\\in J}, si f_\\lambda(t) tend vers une fonction $f(t)$ lorsque $\\lambda$ tend vers $\\lambda_0$, si $f$ est continue par morceaux et si |f_\\lambda(t)|\\leq\\varphi(t) avec $\\varphi$ positive et intégrable, alors \\lim_{\\lambda\\to\\lambda_0}\\int_I f_\\lambda=\\int_I\\lim_{\\lambda\\to\\lambda_0}f_\\lambda=\\int_I f.

Compléments

• La continuité de l'intégrale paramétrée se démontre en choisissant toute suite $x_n$ de paramètres tendant vers $\\lambda_0$, puis en appliquant le théorème de convergence dominée à la suite $g_n(t)=f_{x_n}(t)$.

💡 Astuce mémo

Paramètre λ → limite ponctuelle → intégrale limite

📖 3. Intégration terme à terme positive

★ À maîtriser

📌 Si les fonctions $f_n$ sont positives, continues par morceaux et intégrables, si leur série converge simplement vers une somme continue par morceaux, alors, dans $[0,+\\infty]$, $\\int_I\\left(\\sum_{n=0}^{+\\infty}f_n(t)\\right)dt=\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\int_I f_n(t)dt$.

Compléments

📌 Dans le cas positif, la somme $\\sum_{n=0}^{+\\infty}f_n$ est intégrable sur $I$ si et seulement si $\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\int_I f_n(t)dt<+\\infty$.

💡 Astuce mémo

Fonctions positives : égalité même si la valeur vaut +∞

📖 4. Intégration terme à terme générale

★ À maîtriser

📌 Si une série de fonctions intégrables converge simplement vers une somme continue par morceaux et vérifie $\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\int_I|f_n(t)|dt<+\\infty$, alors sa somme est intégrable et $\\int_I\\sum_{n=0}^{+\\infty}f_n(t)dt=\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\int_I f_n(t)dt$.

Compléments

• Lorsque la sommabilité absolue échoue, l'intégration terme à terme peut parfois être justifiée en appliquant le théorème de convergence dominée aux sommes partielles ou aux restes partiels.

💡 Astuce mémo

Somme des intégrales absolues finie → intégration terme à terme

📖 5. Formules de séries utiles

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $x\\in(-1{,}1)$, la série géométrique vérifie $\\frac{1}{1-x}=\\sum_{n=0}^{+\\infty}x^n$.

📐 Formule — Pour tout réel $x$, la série exponentielle vérifie $e^x=\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{x^n}{n!}$.

Compléments

📐 Formule — Pour $x\\in(-1{,}1)$, le logarithme vérifie $\\ln(1+x)=\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1}$.