★ À maîtriser
📌 Si converge simplement vers une fonction continue par morceaux sur et s'il existe une fonction positive intégrable telle que pour tout et tout , alors les et sont intégrables et .
Compléments
Convergence simple + domination intégrable → échange limite-intégrale
1. Que signifie la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$ vers $f$ sur un intervalle $I$ ?
2. Quelle condition supplémentaire permet d'échanger la limite et l'intégrale lorsque $(f_n)$ converge simplement vers $f$ ?
3. Dans le théorème de convergence dominée paramétrique, quelle conclusion obtient-on lorsque $f_\lambda(t)$ tend vers $f(t)$ quand $\lambda\to\lambda_0$ et que les fonctions sont dominées par une fonction intégrable ?
Qu'est-ce que la convergence simple d'une suite de fonctions ?
La suite converge simplement si pour tout t, f_n(t) tend vers f(t).
Quelle condition implique la convergence de l'intégrale des f_n vers celle de f ?
La convergence simple vers f continue par morceaux avec une fonction dominante intégrable.
Que garantit l'existence d'une fonction positive intégrable dominante ?
Que les f_n et f sont intégrables et que l'intégrale des f_n converge vers celle de f.
Quelle fonction peut servir de dominante si la suite est positive et décroissante ?
On peut utiliser f_0 comme fonction dominante.
Quelle fonction peut servir de dominante si la suite est positive et croissante ?
On peut utiliser la limite de la suite comme fonction dominante.
Quelle fonction constante peut servir de dominante si l'intervalle I est borné ?
Une fonction constante sur I borné peut servir de dominante.
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