QCM : Suites et séries d’intégrales — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$ vers $f$ sur un intervalle $I$ ?

L'intégrale de $f_n$ converge vers l'intégrale de $f$ sur $I$
Les fonctions $f_n$ convergent vers $f$ avec la même vitesse en tout point de $I$
Pour tout $t\in I$, la suite numérique $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$
La distance entre $f_n$ et $f$ tend uniformément vers zéro sur $I$

Pour tout $t\in I$, la suite numérique $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$

Explication

La convergence simple est une convergence point par point : pour chaque $t\in I$, on a $f_n(t)\to f(t)$. Elle ne contrôle pas simultanément tous les points comme la convergence uniforme.

2. Quelle condition supplémentaire permet d'échanger la limite et l'intégrale lorsque $(f_n)$ converge simplement vers $f$ ?

La seule continuité de chaque fonction $f_n$ sur l'intervalle
L'existence d'une fonction positive intégrable qui domine tous les $|f_n|$
La positivité de la fonction limite sans condition sur les $f_n$
La convergence uniforme de la suite des intégrales de $f_n$

L'existence d'une fonction positive intégrable qui domine tous les $|f_n|$

Explication

Une fonction positive intégrable $\varphi$ telle que $|f_n(t)|\leq\varphi(t)$ pour tout $n$ et tout $t$ permet d'appliquer le théorème de convergence dominée et d'obtenir $\lim_n\int_I f_n=\int_I f$.

3. Dans le théorème de convergence dominée paramétrique, quelle conclusion obtient-on lorsque $f_\lambda(t)$ tend vers $f(t)$ quand $\lambda\to\lambda_0$ et que les fonctions sont dominées par une fonction intégrable ?

$\displaystyle\lim_{\lambda\to\lambda_0}\int_I f_\lambda=\int_I f$
$\displaystyle\int_I f_\lambda$ est indépendante de $\lambda$
$\displaystyle\lim_{\lambda\to\lambda_0}\int_I f_\lambda=\int_I |f|$
$\displaystyle\lim_{\lambda\to\lambda_0}f_\lambda(t)=\int_I f(t)\,dt$ pour tout $t$

$\displaystyle\lim_{\lambda\to\lambda_0}\int_I f_\lambda=\int_I f$

Explication

Sous les hypothèses de domination intégrable et de convergence ponctuelle vers $f$, la limite peut être échangée avec l'intégrale : $\lim_{\lambda\to\lambda_0}\int_I f_\lambda=\int_I f$.

4. Pour démontrer séquentiellement la continuité d'une intégrale paramétrée en $\lambda_0$, quelle démarche faut-il suivre ?

Fixer un seul paramètre $x$ différent de $\lambda_0$ et intégrer directement $f_x$
Choisir une suite $x_n\to\lambda_0$, poser $g_n(t)=f_{x_n}(t)$ et appliquer la convergence dominée
Remplacer chaque $f_\lambda$ par sa valeur intégrale avant d'étudier la limite ponctuelle
Choisir une suite de fonctions dominantes dépendant de $n$ sans vérifier leur intégrabilité

Choisir une suite $x_n\to\lambda_0$, poser $g_n(t)=f_{x_n}(t)$ et appliquer la convergence dominée

Explication

La preuve séquentielle choisit toute suite de paramètres $x_n$ tendant vers $\lambda_0$, puis applique le théorème de convergence dominée à $g_n(t)=f_{x_n}(t)$. Le résultat obtenu concerne ensuite la limite lorsque $\lambda$ tend directement vers $\lambda_0$.

5. Que permet d'affirmer le théorème d'intégration terme à terme pour une série de fonctions positives vérifiant les hypothèses usuelles ?

$\displaystyle\int_I\sum_{n=0}^{\infty}f_n=\sum_{n=0}^{\infty}\int_I f_n$, éventuellement avec la valeur $+\infty$
La somme des intégrales doit toujours être absolument convergente et finie
$\displaystyle\int_I\sum_{n=0}^{\infty}f_n$ est toujours strictement inférieur à la série des intégrales
L'égalité n'est valable que si chaque intégrale $\int_I f_n$ est nulle

$\displaystyle\int_I\sum_{n=0}^{\infty}f_n=\sum_{n=0}^{\infty}\int_I f_n$, éventuellement avec la valeur $+\infty$

Explication

Pour des fonctions positives, l'intégration terme à terme est valable dans $[0,+\infty]$. L'égalité peut donc prendre la valeur $+\infty$, contrairement aux situations générales nécessitant une sommabilité plus forte.

6. Dans le cas d'une série de fonctions positives, quand sa somme est-elle intégrable sur $I$ ?

Lorsque la somme ponctuelle existe, même si elle vaut $+\infty$ sur une partie de $I$
Lorsque chaque fonction $f_n$ est bornée, même si la série des intégrales diverge
Lorsque la série numérique $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\int_I f_n(t)\,dt$ converge vers une valeur finie
Lorsque la série des intégrales possède une valeur quelconque dans $[0,+\infty]$

Lorsque la série numérique $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\int_I f_n(t)\,dt$ converge vers une valeur finie

Explication

Dans le cas positif, l'intégrabilité de la somme équivaut à la finitude de $\sum_{n=0}^{\infty}\int_I f_n(t)\,dt$. Une valeur $+\infty$ de cette série signifie que la somme n'est pas intégrable au sens usuel.

7. Quelle condition supplémentaire permet de justifier l’intégration terme à terme d’une série de fonctions dont la somme converge simplement vers une fonction continue par morceaux ?

La divergence des intégrales des valeurs absolues des termes
La continuité uniforme de tous les termes sur l’intervalle
La convergence uniforme de chaque terme vers zéro
La sommabilité des intégrales des valeurs absolues des termes

La sommabilité des intégrales des valeurs absolues des termes

Explication

La sommabilité de la série \(\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I |f_n(t)|\,dt\u0000\) garantit que la somme est intégrable et autorise l’échange entre somme et intégrale. La convergence simple seule ne suffit pas.

8. Lorsque la sommabilité absolue des intégrales échoue, quelle méthode peut encore justifier une intégration terme à terme ?

Remplacer chaque terme par sa valeur absolue avant d’intégrer
Utiliser la convergence simple sans autre hypothèse
Vérifier uniquement que les intégrales individuelles existent
Appliquer le théorème de convergence dominée aux sommes partielles ou aux restes partiels

Appliquer le théorème de convergence dominée aux sommes partielles ou aux restes partiels

Explication

Le théorème de convergence dominée peut s’appliquer aux sommes partielles ou aux restes partiels lorsqu’ils sont convenablement dominés. La divergence de la sommabilité absolue ne suffit pas, à elle seule, à conclure.

9. Pour quelle expression la série géométrique \(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\u0000\) fournit-elle une représentation lorsque \(|x|<1\u0000\) ?

\(e^x\u0000\)
\(\frac{1}{1+x}\u0000\)
\(\frac{x}{1-x}\u0000\)
\(\frac{1}{1-x}\u0000\)

\(\frac{1}{1-x}\u0000\)

Explication

Pour \(x\in(-1,1)\u0000\), on a \(\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\u0000\). L’expression \(1/(1+x)\u0000\) correspond à une série comportant un facteur alterné.

10. Quelle série représente la fonction exponentielle pour tout réel \(x\u0000\) ?

\(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1}\u0000\)
\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\u0000\)
\(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\u0000\)
\(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}\u0000\)

\(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\u0000\)

Explication

La série entière de l’exponentielle est \(e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n/n!\u0000\), valable pour tout réel \(x\u0000\). Le facteur \(n!\u0000\) la distingue notamment de la série géométrique.

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Qu'est-ce que la convergence simple d'une suite de fonctions ?

La suite converge simplement si pour tout t, f_n(t) tend vers f(t).

Quelle condition implique la convergence de l'intégrale des f_n vers celle de f ?

La convergence simple vers f continue par morceaux avec une fonction dominante intégrable.

Que garantit l'existence d'une fonction positive intégrable dominante ?

Que les f_n et f sont intégrables et que l'intégrale des f_n converge vers celle de f.

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