Fiche de révision : Limites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Notion et limites de référence
2. Opérations sur les limites
3. Formes indéterminées
4. Méthodes de calcul aux infinis

📖 1. Notion et limites de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une fonction : Décrit le comportement de f(x) lorsque x se rapproche de a ou devient très grand.

📝 Points essentiels

• Une limite peut être finie, infinie avec une valeur +∞ ou −∞, ou inexistante.

• Les limites de référence sont les suivantes: xⁿ tend vers +∞ en +∞ pour n pair ou impair, et vers +∞ en −∞ pour n pair mais vers −∞ pour n impair, 1/x tend vers 0 en ±∞ et vers ±∞ en 0 selon le signe de x, 1/xⁿ tend vers 0 en +∞ et en −∞, ou vers +∞ en 0, √x tend vers +∞ en +∞, est non définie en −∞ et tend vers 0 en 0, sin x et cos x n’ont pas de limite en ±∞, tandis que sin(0)=0 et cos(0)=1

💡 Astuce mémo

Limite finie, limite infinie ou absence de limite : trois comportements distincts.

📖 2. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

📌 Pour deux limites finies l et l’, les opérations sur les limites s’effectuent terme à terme, sauf lorsqu’une forme indéterminée apparaît.

📌 Pour une somme, l+l’ donne l+l’ ; une limite finie additionnée à ±∞ donne ±∞ ; deux limites de même signe infini donnent cet infini ; +∞−∞ est une forme indéterminée.

📌 Pour un produit, deux limites finies donnent leur produit ; une limite finie non nulle multipliée par ±∞ donne ±∞ selon les signes ; le produit de deux infinis donne ±∞ selon les signes ; 0×∞ est une forme indéterminée.

Compléments

📌 Pour un quotient, une limite finie divisée par une limite finie non nulle donne leur quotient, tandis qu’une limite finie divisée par ±∞ donne 0.

📖 3. Formes indéterminées

📝 Points essentiels

• Pour une forme 0×∞, on transforme le produit en quotient f(x)/(1/g(x)) afin de se ramener à une forme 0/0 ou ∞/∞.

• Pour une forme +∞−∞, on factorise par le monôme dominant ou on multiplie par la quantité conjuguée.

• Pour une forme ∞/∞, on divise le numérateur et le dénominateur par leur monôme dominant respectif.

• Pour une forme 0/0, on factorise et simplifie le terme problématique, on utilise la quantité conjuguée ou on applique le taux de variation, c’est-à-dire le nombre dérivé.

• Les quatre formes indéterminées sont:

  • +∞−∞
  • 0×∞
  • ∞/∞
  • 0/0

💡 Astuce mémo

Les quatre F.I. : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞ et 0/0.

📖 4. Méthodes de calcul aux infinis

★ À maîtriser

📐 Formule — En +∞ et en −∞, la limite d’un polynôme P(x) est $\lim_{x\to\pm\infty}P(x)=\lim_{x\to\pm\infty}a_nx^n$, où aₙxⁿ est son monôme de plus haut degré.

📐 Formule — Pour une fonction rationnelle, la limite en ±∞ est $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_nx^n}{b_px^p}$, où aₙxⁿ et bₚxᵖ sont les monômes dominants respectifs.

• Pour une expression irrationnelle contenant une différence de racines carrées ou un quotient avec une racine, on multiplie et on divise par la quantité conjuguée afin d’utiliser (a−b)(a+b)=a²−b².

Compléments

• La quantité conjuguée transforme $\sqrt{x^2+1}-x$ en $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$, car le numérateur devient (x²+1)−x²=1.

💡 Astuce mémo

Monôme dominant ou quantité conjuguée → expression simplifiée et limite calculable.