Fiche de révision : Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Forme algébrique et vocabulaire
2. Conjugué et propriétés
3. Module et argument
4. Équations du second degré
5. Formes trigonométrique et exponentielle
6. Représentation dans le plan complexe
7. Configurations géométriques

📖 1. Forme algébrique et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : S’écrit de manière unique sous la forme z=x+iy, où x et y sont deux nombres réels et i vérifie i²=-1.
• Partie réelle : Dans l’écriture z=x+iy, x
• Partie imaginaire : Dans l’écriture z=x+iy, y

★ À maîtriser

📌 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Compléments

📌 Si y=0, z est réel, tandis que si x=0, z est un imaginaire pur.

📖 2. Conjugué et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Si z=x+iy, le nombre complexe \overline{z}=x-iy

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout complexe z, $z\overline{z}=|z|^2$.

Compléments

📌 Le conjugué d’une somme, d’un produit et d’un quotient est respectivement la somme, le produit et le quotient des conjugués lorsque le quotient est défini.

📌 Un complexe est réel si et seulement si son conjugué lui est égal, tandis qu’un complexe est imaginaire pur si et seulement si son conjugué est son opposé.

💡 Astuce mémo

Le conjugué garde la partie réelle et oppose le signe de la partie imaginaire.

📖 3. Module et argument

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : Le réel positif $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ et représente la distance du point de coordonnées (x,y) à l’origine.
• Argument : Pour z≠0, un argument de z, noté arg(z), est une mesure en radians de l’angle orienté entre le vecteur unitaire et le vecteur OM.

★ À maîtriser

📌 On a |z|=0 si et seulement si z=0, $|zz'|=|z||z'|$ et $|z+z'|\leq |z|+|z'|$.

📌 Les arguments vérifient arg(zz')=arg(z)+arg(z') [2π], arg(1/z)=-arg(z) [2π], arg(z/z')=arg(z)-arg(z') [2π] et arg(z^n)=n arg(z) [2π].

Compléments

📐 Formule — Si θ est un argument de z=x+iy, alors $\cos(\theta)=\frac{x}{|z|}$ et $\sin(\theta)=\frac{y}{|z|}$.

💡 Astuce mémo

Produit des complexes → addition des arguments et multiplication des modules.

📖 4. Équations du second degré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour résoudre $az^2+bz+c=0$ avec a,b,c réels et a≠0, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

• Si Δ>0, l’équation possède deux solutions réelles distinctes $z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si Δ=0, l’équation possède une solution réelle double $z=\frac{-b}{2a}$.

• Si Δ<0, l’équation possède deux solutions complexes conjuguées $z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ positif, nul, négatif : deux réelles, une double, deux conjuguées.

📖 5. Formes trigonométrique et exponentielle

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout complexe non nul s’écrit sous la forme trigonométrique $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, où θ est un argument de z modulo 2π.

📐 Formule — En posant $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$, la forme exponentielle d’un complexe non nul est $z=re^{i\theta}$ avec r=|z|.

📐 Formule — La formule de Moivre donne $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$, soit $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$.

Compléments

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

• Pour passer de z=x+iy à la forme trigonométrique, on calcule $r=\sqrt{x^2+y^2}$ puis on détermine θ par $\cos\theta=x/r$ et $\sin\theta=y/r$; inversement, x=r cosθ et y=r sinθ.

💡 Astuce mémo

Algébrique → module et argument → trigonométrique → exponentielle.

📖 6. Représentation dans le plan complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe d’un point : Dans un repère orthonormé direct, le complexe z=x+iy

★ À maîtriser

📐 Formule — L’affixe du vecteur AB est $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$.

📐 Formule — L’affixe du milieu I du segment [AB] est $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$.

📐 Formule — La distance AB est donnée par $AB=|z_B-z_A|$.

Compléments

📐 Formule — L’angle orienté entre les vecteurs AB et AC vaut $\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) [2\pi]$.

💡 Astuce mémo

Un complexe z=x+iy devient le point M(x,y) dans le plan.

📖 7. Configurations géométriques

★ À maîtriser

• Pour étudier la configuration de A, B et C, on pose $Z=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.

• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si Z est réel, c’est-à-dire Im(Z)=0 ou arg(Z)=0 [2π].

• Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires si et seulement si Z est un imaginaire pur, c’est-à-dire Re(Z)=0 ou arg(Z)=π/2 [2π].

• Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si |Z|=1.

• Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si arg(Z)=π/2 ou −π/2 [2π], ce qui signifie que Z est un imaginaire pur.

• Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si |Z|=1 et arg(Z)=π/3 ou −π/3 [2π], soit Z=e^{iπ/3} ou Z=e^{-iπ/3}.

Compléments

📌 Le triangle ABC est rectangle isocèle en A si Z=i ou Z=−i.

💡 Astuce mémo

Quotient réel : alignement ; quotient imaginaire pur : perpendicularité.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant