Flashcards : Nombres complexes — 46 cartes

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1Question

Comment s'écrit un nombre complexe de façon unique ?

Réponse

Sous la forme z=x+iyz = x + iy avec x,y ∈Rx,y \, \in \mathbb{R} et i2=−1i^2 = -1.

2Question

Que représente xx dans z=x+iyz = x + iy ?

Réponse

La partie réelle de zz, notée Re(z)\mathrm{Re}(z).

3Question

Que représente yy dans z=x+iyz = x + iy ?

Réponse

La partie imaginaire de zz, notée Im(z)\mathrm{Im}(z).

4Question

Que signifie y=0y=0 pour un nombre complexe z=x+iyz = x + iy ?

Réponse

Que zz est un nombre réel.

5Question

Que signifie x=0x=0 pour un nombre complexe z=x+iyz = x + iy ?

Réponse

Que zz est un imaginaire pur.

6Question

Quelle condition caractérise l'égalité de deux nombres complexes ?

Réponse

Ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

7Question

Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe z = x + iy ?

Réponse

Le conjugué est arz=x−iyar{z} = x - iy.

8Question

Quelle formule relie un complexe z à son conjugué arzar{z} ?

Réponse

On a zarz=∣z∣2z ar{z} = |z|^2.

9Question

Que vaut le conjugué d'une somme, d'un produit et d'un quotient de complexes ?

Réponse

C'est la somme, le produit et le quotient des conjugués respectivement.

10Question

Quand un complexe est-il réel en fonction de son conjugué ?

Réponse

Il est réel si son conjugué lui est égal.

11Question

Quand un complexe est-il imaginaire pur selon son conjugué ?

Réponse

Il est imaginaire pur si son conjugué est son opposé.

12Question

Qu'est-ce que le module d'un nombre complexe z=x+iy ?

Réponse

Le module est le réel positif ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2}.

13Question

Quelle condition caractérise un nombre complexe z de module nul ?

Réponse

∣z∣=0|z|=0 si et seulement si z=0z=0.

14Question

Quelle inégalité lie le module de la somme de deux complexes à leurs modules ?

Réponse

∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣|z+z'|\leq |z|+|z'|.

15Question

Qu'est-ce qu'un argument d'un nombre complexe z non nul ?

Réponse

C'est une mesure en radians de l'angle orienté entre le vecteur unitaire et le vecteur OM.

16Question

Comment exprime-t-on cos⁡(θ)\cos(\theta) si θ\theta est un argument de z=x+iyz=x+iy ?

Réponse

cos⁡(θ)=x∣z∣\cos(\theta)=\frac{x}{|z|}.

17Question

Comment exprime-t-on sin⁡(θ)\sin(\theta) si θ\theta est un argument de z=x+iyz=x+iy ?

Réponse

sin⁡(θ)=y∣z∣\sin(\theta)=\frac{y}{|z|}.

18Question

Quelle relation donne l'argument du produit de deux nombres complexes ?

Réponse

arg⁡(zz′)=arg⁡(z)+arg⁡(z′) [2π]\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi].

19Question

Quelle formule relie l'argument d'une puissance znz^n à celui de zz ?

Réponse

arg⁡(zn)=narg⁡(z) [2π]\arg(z^n)=n\arg(z)\ [2\pi].

20Question

Comment calcule-t-on le discriminant d'une équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 ?

Réponse

On calcule Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.

21Question

Que signifie Δ>0\Delta > 0 pour les solutions de az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 ?

Réponse

L'équation a deux solutions réelles distinctes.

22Question

Quelle est la formule de la première solution réelle si Δ>0\Delta > 0 ?

Réponse

z1=−b−Δ2az_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.

23Question

Quelle est la formule de la deuxième solution réelle si Δ>0\Delta > 0 ?

Réponse

z2=−b+Δ2az_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.

24Question

Quelle est la formule de la solution réelle double si Δ=0\Delta = 0 ?

Réponse

z=−b2az = \frac{-b}{2a}.

25Question

Quelle est la formule des solutions complexes si Δ<0\Delta < 0 ?

Réponse

z1=−b−i−Δ2az_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} et z2=−b+i−Δ2az_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

26Question

Quelle est la forme trigonométrique d'un complexe non nul z ?

Réponse

z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)z=|z|(\cos\theta + i \sin\theta)

27Question

Comment définit-on eiθe^{i\theta} en trigonométrie ?

Réponse

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta

28Question

Quelle est la forme exponentielle d'un complexe non nul z ?

Réponse

z=reiθz = r e^{i\theta} avec r=∣z∣r = |z|

29Question

Quelle formule exprime cos⁡θ\cos\theta avec des exponentielles complexes ?

Réponse

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}

30Question

Quelle formule exprime sin⁡θ\sin\theta avec des exponentielles complexes ?

Réponse

sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

31Question

Quelle est la formule de Moivre pour (cos⁡θ+isin⁡θ)n(\cos\theta + i \sin\theta)^n ?

Réponse

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta + i \sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

32Question

Comment s'exprime (eiθ)n(e^{i\theta})^n selon la formule de Moivre ?

Réponse

(eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n = e^{i n \theta}

33Question

Comment calcule-t-on rr et θ\theta pour passer de z=x+iyz=x+iy à la forme trigonométrique ?

Réponse

On calcule r=x2+y2r=\sqrt{x^2 + y^2}, puis cos⁡θ=x/r\cos\theta = x/r et sin⁡θ=y/r\sin\theta = y/r

34Question

Qu'est-ce que l'affixe d'un point dans un repère orthonormé direct ?

Réponse

Le complexe z=x+iyz=x+iy représentant le point M(x,y)M(x,y).

35Question

Quelle est la formule de l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

Réponse

zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB}}=z_B - z_A.

36Question

Comment calcule-t-on l'affixe du milieu II du segment [AB][AB] ?

Réponse

zI=zA+zB2z_I=\frac{z_A + z_B}{2}.

37Question

Comment exprime-t-on la distance ABAB en fonction des affixes ?

Réponse

AB=∣zB−zA∣AB=|z_B - z_A|.

38Question

Quelle est la formule de l'angle orienté entre les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ?

Réponse

arg⁡(zC−zAzB−zA)[2π]\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) [2\pi].

39Question

Quelle expression définit la configuration de A, B et C ?

Réponse

Z=zC−zAzB−zAZ=\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}

40Question

Quand les points A, B et C sont-ils alignés selon Z ?

Réponse

Quand ZZ est réel, c’est-à-dire Im⁡(Z)=0\operatorname{Im}(Z)=0.

41Question

Quelle condition sur Z caractérise la perpendicularité des droites (AB) et (AC) ?

Réponse

ZZ est un imaginaire pur, donc Re⁡(Z)=0\operatorname{Re}(Z)=0.

42Question

Quelle condition sur ∣Z∣|Z| indique que le triangle ABC est isocèle en A ?

Réponse

∣Z∣=1|Z|=1 indique que le triangle est isocèle en A.

43Question

Quelle condition sur arg⁡(Z)\arg(Z) signifie que le triangle ABC est rectangle en A ?

Réponse

arg⁡(Z)=±π2\arg(Z)=\pm \frac{\pi}{2} signifie que le triangle est rectangle en A.

44Question

Quand le triangle ABC est-il rectangle isocèle en A selon Z ?

Réponse

Quand Z=iZ=i ou Z=−iZ=-i.

45Question

Quelles conditions sur ∣Z∣|Z| et arg⁡(Z)\arg(Z) définissent un triangle équilatéral ABC ?

Réponse

∣Z∣=1|Z|=1 et arg⁡(Z)=±π3\arg(Z)=\pm \frac{\pi}{3} définissent un triangle équilatéral.

46Question

Comment s'exprime ZZ pour un triangle équilatéral ABC ?

Réponse

Z=eiπ/3Z=e^{i\pi/3} ou Z=e−iπ/3Z=e^{-i\pi/3}.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 25 questions sur Nombres complexes.

1. Quelle écriture décrit de manière unique tout nombre complexe ?

2. Dans l’écriture z=4−7iz=4-7i, quelle est la partie réelle de zz ?

Faire le QCM →

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