QCM : Nombres complexes — 25 questions

Explication

Tout nombre complexe possède une écriture unique $z=x+iy$, où $x$ et $y$ sont réels et où $i^2=-1$. Une écriture comme $z=x+y$ ne fait pas intervenir la structure particulière des nombres complexes.

Explication

Dans la forme $x+iy$, la partie réelle est le coefficient réel placé sans le facteur $i$ : ici, elle vaut $4$. Le nombre $-7$ est la partie imaginaire, tandis que $-7i$ est le terme imaginaire.

Explication

La partie imaginaire est le réel $y$ qui multiplie $i$ dans $z=x+iy$ ; elle vaut donc $5$. Le terme $5i$ est la composante imaginaire, mais il ne constitue pas la valeur de la partie imaginaire elle-même.

Explication

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires coïncident, donc $a=c$ et $b=d$. Une égalité entre les sommes ou les produits des coefficients ne garantit pas cette correspondance terme à terme.

Explication

Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire : le conjugué de $3-4i$ est donc $3+4i$. La partie réelle ne change pas de signe lors de cette opération.

Explication

Le produit d’un complexe par son conjugué est égal au carré de son module, soit $z\overline{z}=|z|^2$, une quantité réelle positive ou nulle. Il ne correspond pas en général à $z^2$, car un complexe peut avoir une partie imaginaire non nulle.

Explication

Le module se calcule par $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$, donc ici $|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5$. La valeur $7$ additionne les coordonnées, tandis que $25$ est le carré du module.

Explication

Le module d’un produit est exactement le produit des modules : $|zz'|=|z||z'|$. Pour une somme, la propriété disponible est l’inégalité triangulaire $|z+z'|\leq |z|+|z'|$, et non une égalité multiplicative.

Explication

Un argument de $z\neq0$ mesure en radians l’angle orienté entre le vecteur de référence et le vecteur représentant $z$. La distance à l’origine est donnée par le module, et non par l’argument.

Explication

Les coordonnées du point associé, rapportées à sa distance à l’origine, donnent $\cos(\theta)=\frac{x}{|z|}$ et $\sin(\theta)=\frac{y}{|z|}$. Les deux coordonnées ne peuvent pas être permutées, car le cosinus correspond à la composante horizontale et le sinus à la composante verticale.

Explication

Le discriminant d’une équation du second degré est défini par $\Delta=b^2-4ac$. Le signe de cette quantité permet ensuite de déterminer la nature des solutions.

Explication

Un discriminant strictement positif indique deux solutions réelles distinctes. Les solutions complexes conjuguées apparaissent lorsque le discriminant est négatif.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, la solution réelle double est $z=\frac{-b}{2a}$. Ici, $a=1$ et $b=6$, donc $z=-3$.

Explication

Si $\Delta<0$, les solutions sont complexes conjuguées et s’écrivent avec $\sqrt{-\Delta}$. Un discriminant positif correspond, lui, à deux solutions réelles distinctes.

Explication

La forme trigonométrique utilise le module comme facteur et l’argument dans les fonctions trigonométriques : $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$. Les coordonnées algébriques ne remplacent donc pas directement le module et l’argument.

Explication

Dans la forme exponentielle, $r=|z|$ représente le module et $\theta$ représente un argument du complexe. Cette écriture repose sur la relation $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

Explication

La formule de Moivre donne $\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$, ce qui revient à multiplier l’argument par $n$. La puissance ne multiplie pas le module exponentiel par $n$.

Explication

Dans un repère orthonormé direct, $z=x+iy$ est l’affixe du point image $M(x,y)$. Le point représente donc le complexe, tandis que le complexe est l’affixe du point.

Explication

L’affixe du vecteur allant de $A$ vers $B$ est obtenue en soustrayant l’affixe du point de départ à celle du point d’arrivée : $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$. L’expression $z_A-z_B$ correspond au vecteur de sens opposé.

Explication

Le milieu d’un segment a pour affixe la moyenne des affixes de ses extrémités, soit $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$. La différence des affixes décrit le vecteur reliant les deux points.

Explication

La distance entre deux points est le module de l’affixe du vecteur qui les relie : $AB=|z_B-z_A|$. La somme des affixes ne représente pas ce déplacement entre les deux points.

Explication

Le quotient compare les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ en utilisant leurs affixes complexes. L’expression $z_C-z_A$ décrit seulement le vecteur $\overrightarrow{AC}$ et ne constitue donc pas le quotient demandé.

Explication

L’alignement équivaut à un quotient $Z$ réel, ce qui revient à écrire $\operatorname{Im}(Z)=0$. Un quotient imaginaire pur caractérise plutôt la perpendicularité des droites étudiées.

Explication

Comme $Z=3i$ est un imaginaire pur, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires, donc le triangle est rectangle en $A$. La valeur de son module n’est pas $1$, ce qui ne permet pas de conclure qu’il est isocèle en $A$.

Explication

L’équilatéralité impose que $Z$ ait un module égal à $1$ et un argument égal à $\frac{\pi}{3}$ ou $-\frac{\pi}{3}$ modulo $2\pi$. Un argument de $\pm\frac{\pi}{2}$ correspond à un angle droit en $A$, non à un triangle équilatéral.