Fiche de révision : Nombres entiers, fractions et décimaux

📋 Plan du Cours

1. Ensembles des nombres entiers
2. Multiples et critères de divisibilité
3. Parité et raisonnements sur les entiers
4. Nombres rationnels et fractions
5. Calculs et priorités opératoires
6. Nombres décimaux
7. Encadrements et valeurs approchées

📖 1. Ensembles des nombres entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls : ℕ = {0, 1, 2, …}.
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers positifs, négatifs et de zéro : ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}.

📝 Points essentiels

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note ℕ ⊂ ℤ.

💡 Astuce mémo

Des naturels N aux relatifs Z : N est inclus dans Z

📖 2. Multiples et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Si un entier naturel a s’écrit a = b × c avec b et c entiers naturels, alors a est un multiple de b et de c, tandis que b et c sont des diviseurs de a.

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 lorsque son dernier chiffre est pair, c’est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et divisible par 10 s’il se termine par 0.

• Un nombre est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

Compléments

• Comme 143 = 13 × 11 et que 11 et 13 sont premiers, les seuls diviseurs positifs de 143 sont 1, 11, 13 et 143.

• Pour déterminer les diviseurs de 2400, on utilise sa décomposition en facteurs premiers : 2400 = 2⁵ × 3 × 5².

💡 Astuce mémo

2-5-10 : dernier chiffre ; 3-9 : somme des chiffres

📖 3. Parité et raisonnements sur les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un entier est pair s’il existe un entier k tel que n = 2k.
• Nombre impair : Un entier est impair s’il existe un entier k tel que n = 2k + 1.

📝 Points essentiels

• La somme de trois entiers consécutifs n − 1, n et n + 1 vaut 3n et est donc divisible par 3.

📌 Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair, car parmi deux entiers consécutifs l’un est nécessairement pair.

💡 Astuce mémo

Pair = 2k ; impair = 2k + 1

📖 4. Nombres rationnels et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a/b, avec a et b entiers relatifs et b ≠ 0.

★ À maîtriser

• Les inclusions entre les ensembles étudiés sont ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.

• Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les transformer pour leur donner un même dénominateur.

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

• Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Compléments

📌 Une fraction se simplifie en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre, puis elle doit être donnée sous forme irréductible.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour additionner, produit terme à terme, inverse pour diviser

📖 5. Calculs et priorités opératoires

★ À maîtriser

• 🔄 L’ordre des priorités opératoires est:

  1. Les parenthèses
  2. Les exposants
  3. Les multiplications et divisions
  4. Les additions et soustractions

• Dans l’équation 23x − 25 = 0, on obtient x = 25/23 ≈ 1,087.

Compléments

📐 Formule — L’addition de fractions à dénominateur commun suit la relation $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → exposants → multiplications/divisions → additions/soustractions

📖 6. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire comme une fraction de dénominateur 10ⁿ, avec n ∈ ℕ.

★ À maîtriser

📌 Le nombre 1/3 n’est pas décimal, car 3 ne divise aucune puissance de 10 et son écriture décimale 0,3333… n’est pas finie.

Compléments

• Le nombre 19/20 est décimal car 19/20 = 95/100 = 0,95.

💡 Astuce mémo

Décimal : dénominateur 10ⁿ ; 1/3 n’a pas d’écriture décimale finie

📖 7. Encadrements et valeurs approchées

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Consiste à trouver deux nombres décimaux a et b tels que a < x < b.
• Arrondi : Choix du nombre décimal le plus proche à la précision demandée.

📝 Points essentiels

• À 10⁻² près, 3,158 s’encadre par 3,15 < 3,158 < 3,16 et s’arrondit à 3,16.

• À 10⁻³ près, 14,1821 s’encadre par 14,182 < 14,1821 < 14,183 et s’arrondit à 14,182.

💡 Astuce mémo

Encadrer donne deux bornes ; arrondir donne le décimal le plus proche

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres