Fiche de révision : Équations et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du trinôme
2. Forme canonique
3. Variations et parabole
4. Racines et relations
5. Discriminant et résolution
6. Forme factorisée
7. Signe du trinôme

📖 1. Définition du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée trinôme, tandis que une fonction comme $5x-3$ est de degré 1 et une fonction comme $5x^4-7x^3+3x-8$ est de degré 4.

📖 2. Forme canonique

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=\frac{-b^2-4ac}{4a}=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-20x+10$, la forme canonique est $f(x)=2(x-5)^2-40$, avec $\alpha=5$ et $\beta=-40$.

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → identifier α et β

📖 3. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré ; son sommet est le point de coordonnées $(\alpha,\beta)$ et son axe de symétrie est la droite d’équation $x=\alpha$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, les variations dépendent du signe de a : si a>0, f est décroissante puis croissante et admet un minimum β en α ; si a<0, f est croissante puis décroissante et admet un maximum β en α.

💡 Astuce mémo

a>0 : cuvette et minimum ; a<0 : colline et maximum

📖 4. Racines et relations

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : solution de l’équation $f(x)=0$, correspondant à une intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si un trinôme $ax^2+bx+c$ possède deux racines distinctes x₁ et x₂, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📖 5. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• La résolution de $ax^2+bx+c=0$ dépend du discriminant : si Δ<0, il n’y a aucune solution réelle ; si Δ=0, l’unique solution est $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si Δ>0, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune, Δ=0 : une, Δ>0 : deux

📖 6. Forme factorisée

★ À maîtriser

📌 Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, si Δ=0 alors $f(x)=a(x-x_0)^2$, si Δ>0 alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, et si Δ<0 il n’existe pas de forme factorisée réelle.

Compléments

• Le trinôme $2x^2-x-6$, dont les racines sont $-\frac32$ et 2, se factorise en $2\left(x+\frac32\right)(x-2)$.

💡 Astuce mémo

Δ=0 : carré d’un facteur ; Δ>0 : produit de deux facteurs distincts

📖 7. Signe du trinôme

★ À maîtriser

• Si Δ<0, le trinôme est partout du signe de a sur ℝ.

• Si Δ=0, le trinôme est du signe de a sur ℝ et s’annule uniquement en x₀.

• Si Δ>0 et si x₁<x₂, le trinôme est du signe de a sur $]-\infty,x_1[\cup]x_2,+\infty[$ et du signe opposé de a sur $]x_1,x_2[$, avec des zéros en x₁ et x₂.

Compléments

📌 Lorsque a>0, la parabole est tournée vers le haut, tandis que lorsque a<0, elle est tournée vers le bas.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ détermine le nombre de racines, qui détermine le tableau de signes

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant