Équations et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du trinôme
2. Forme canonique
3. Variations et parabole
4. Racines et relations
5. Discriminant et résolution
6. Forme factorisée
7. Signe du trinôme

📖 1. Définition du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée trinôme, tandis que une fonction comme $5x-3$ est de degré 1 et une fonction comme $5x^4-7x^3+3x-8$ est de degré 4.

📖 2. Forme canonique

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=\frac{-b^2-4ac}{4a}=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-20x+10$, la forme canonique est $f(x)=2(x-5)^2-40$, avec $\alpha=5$ et $\beta=-40$.

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → identifier α et β

📖 3. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré ; son sommet est le point de coordonnées $(\alpha,\beta)$ et son axe de symétrie est la droite d’équation $x=\alpha$.