QCM : Équations et fonctions du second degré — 15 questions

Explication

Le terme en $x^2$ doit avoir un coefficient réel non nul pour que le degré soit égal à deux. Un coefficient $a$ nul supprimerait ce terme et conduirait à une fonction de degré inférieur, comme une fonction affine.

Explication

Le plus grand exposant de $x$ présent dans l’expression est quatre, donc le degré de la fonction est quatre. Elle ne peut donc pas être appelée trinôme du second degré, même si son expression comporte plusieurs termes.

Explication

La forme canonique utilise $alpha=-\frac{b}{2a}$ et $beta=\frac{-b^2-4ac}{4a}$, cette dernière valeur étant aussi égale à $f(alpha)$. Les autres expressions modifient les signes ou les dénominateurs et ne donnent pas les coordonnées du sommet.

Explication

La réécriture par carré parfait donne $f(x)=2(x-5)^2-40$, donc le sommet a pour coordonnées $(5,-40)$. Le nombre $5$ correspond à l’abscisse $alpha$, tandis que $-40$ correspond à l’ordonnée $beta$.

Explication

Lorsque $a>0$, le carré est multiplié par un nombre positif : la parabole est tournée vers le haut, la fonction décroît puis croît et atteint son minimum $beta$ pour $x=alpha$. Le cas d’un maximum et d’une croissance suivie d’une décroissance correspond à $a<0$.

Explication

La courbe d’un polynôme du second degré est une parabole dont le sommet est le point $(alpha,beta)$ et dont l’axe de symétrie est la droite verticale $x=alpha$. L’axe n’est pas une droite horizontale et les coordonnées du sommet ne sont pas inversées.

Explication

Une racine annule la fonction et correspond donc au point où la courbe coupe ou touche l’axe des abscisses. La valeur au sommet décrit un autre élément de la parabole et ne définit pas une racine.

Explication

Les relations de Viète donnent $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}=6$. Confondre ces deux expressions conduit à attribuer $\frac{c}{a}$ à la somme ou $-\frac{b}{a}$ au produit.

Explication

Le discriminant est calculé par $\Delta=b^2-4ac$ à partir des trois coefficients du trinôme. La valeur au sommet, souvent notée $\beta$ dans une forme canonique, n’est pas le discriminant.

Explication

Ici, $\Delta=(-6)^2-4\times3\times3=0$, donc l’équation possède une solution réelle double donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}=1$. Lorsque le discriminant est strictement positif, l’équation possède au contraire deux solutions distinctes.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, la racine est double et le trinôme s’écrit $a(x-x_0)^2$. Deux facteurs distincts correspondent au cas $\Delta>0$, tandis que le signe dans le facteur doit être opposé à la racine.

Explication

Chaque racine fournit un facteur de la forme $x-r$, et le coefficient dominant 2 est conservé, d’où $2\left(x+\frac32\right)(x-2)$. La forme développée, elle, met en évidence les coefficients $a$, $b$ et $c$ plutôt que les racines.

Explication

Lorsque $\Delta<0$, le trinôme ne possède pas de racine réelle et conserve donc le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$. Le changement de signe entre deux racines correspond au cas $\Delta>0$.

Explication

Pour $\Delta=0$, le trinôme est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ et possède un seul zéro, situé en $x_0$. Le changement de signe est associé à deux racines réelles distinctes, donc au cas $\Delta>0$.

Explication

Entre les deux racines distinctes, le trinôme prend le signe opposé à celui de $a$, tandis qu’à l’extérieur il prend le signe de $a$. Aux points $x_1$ et $x_2$, sa valeur est nulle.