Fiche de révision : Ensembles et inclusion

📋 Plan du Cours

1. Notion et notation des ensembles
2. Ensemble vide et sous-ensembles
3. Égalité entre ensembles

📖 1. Notion et notation des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés ses éléments, noté par une lettre majuscule avec les éléments écrits entre accolades.

★ À maîtriser

📌 Si x est un élément de l’ensemble A, on écrit x ∈ A ; sinon, on écrit x ∉ A.

Compléments

• L’ensemble des couleurs primaires peut être décrit par A = {rouge, bleu, jaune}.

• L’ensemble des voyelles de l’alphabet français est V = {a, e, i, o, u, y}, donc i ∈ V et b ∉ V.

💡 Astuce mémo

Visualiser une boîte entre accolades contenant ses éléments.

📖 2. Ensemble vide et sous-ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : L’unique ensemble qui ne contient aucun élément et se note ∅ ou { }.
• Sous-ensemble : Un ensemble dont tout élément appartient aussi à A, ce qui se note B ⊂ A.

★ À maîtriser

📌 L’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble E, et tout ensemble E est un sous-ensemble de lui-même.

• La relation B ⊂ A signifie que, pour tout élément e, $e \in B \Rightarrow e \in A$.

Compléments

• L’ensemble des personnes qui vivent sur Mars est présenté comme un exemple d’ensemble vide, car personne n’y réside jusqu’à preuve du contraire.

• Si A est l’ensemble de tous les élèves du collège et B celui de tous les élèves de 4ème, alors B ⊂ A.

💡 Astuce mémo

L’ensemble vide ne contient rien, tandis qu’un sous-ensemble contient seulement des éléments hérités d’un autre ensemble.

📖 3. Égalité entre ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité des ensembles : Deux ensembles qui ont exactement les mêmes éléments, ce qui signifie que pour tout x, x ∈ A ⇔ x ∈ B.

★ À maîtriser

• Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si $A \subset B \text{ et } B \subset A$.

Compléments

• 🔄 Pour démontrer l’égalité de deux ensembles, on: montre que A ⊂ B, montre que B ⊂ A, conclut que A = B

💡 Astuce mémo

Même ensemble : inclusion dans un sens, puis dans l’autre.

📊 Tableaux de synthèse

Relations entre ensembles