Fiche de révision : Nombres entiers, fractions et relatifs

📋 Plan du Cours

1. Multiples, diviseurs et divisibilité
2. Nombres premiers et factorisation
3. Fractions et opérations
4. Opérations sur les nombres relatifs
5. Puissances d’un nombre relatif

📖 1. Multiples, diviseurs et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un entier naturel a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a = kb.
• Diviseur : Un entier naturel b est un diviseur de a lorsque a est un multiple de b, c’est-à-dire lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb.

★ À maîtriser

• Les critères de divisibilité sont les suivants: par 2 si son chiffre des unités est pair, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9, par 10 si son chiffre des unités est 0

Compléments

📌 0 n’est pas un diviseur, car il est impossible de diviser un nombre par 0.

• Les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28, que l’on peut rechercher par couples de facteurs.

📖 2. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre est premier s’il possède exactement deux diviseurs différents : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• 1 n’est pas un nombre premier, car il ne possède qu’un seul diviseur.

• Pour déterminer si un nombre est premier, on peut dresser la liste de ses diviseurs ou tester sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée.

• 🔄 Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on: teste sa divisibilité par les nombres premiers dans l’ordre, effectue les divisions exactes, s’arrête lorsque le quotient vaut 1

Compléments

• Pour 157, comme $\sqrt{157} \approx 12{,}5$, il faut tester la divisibilité par 2, 3, 5, 7 et 11 ; 157 n’étant divisible par aucun de ces nombres, il est premier.

• La décomposition de 300 en facteurs premiers est $300 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5$.

💡 Astuce mémo

Tester les premiers dans l’ordre jusqu’à obtenir 1.

📖 3. Fractions et opérations

★ À maîtriser

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible, on: décompose le numérateur en facteurs premiers, décompose le dénominateur en facteurs premiers, simplifie les facteurs communs

• La fraction $\frac{60}{126}$ se réduit à $\frac{10}{21}$, qui est irréductible car 10 et 21 n’ont pas de diviseur commun.

• Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

• Pour diviser des fractions, on multiplie la première fraction par l’inverse de la deuxième.

Compléments

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents, il faut d’abord les mettre au même dénominateur.

📖 4. Opérations sur les nombres relatifs

📝 Points essentiels

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on conserve leur signe commun et on additionne leurs distances à zéro.

• Pour additionner deux nombres relatifs de signes opposés, on prend le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

• Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.

• Le produit ou le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes contraires est négatif.

💡 Astuce mémo

Même signe : positif pour × et ÷ ; signes contraires : négatif.

📖 5. Puissances d’un nombre relatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un nombre relatif a supérieur ou égal à 2, le produit de n facteurs égaux à a se note $a^n$ et se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».

📝 Points essentiels

📐 Formule - La puissance d’un nombre s’écrit $a^n = a \times a \times \cdots \times a$ avec n facteurs égaux à a.