Fiche de révision : Nombres et calculs

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Intervalles et opérations
3. Arithmétique dans les naturels
4. Fractions et quotients
5. Valeur absolue et distance
6. Puissances et exposants
7. Notation scientifique et encadrements
8. Racines carrées

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Grands ensembles de nombres : Les ensembles de nombres sont emboîtés selon N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R, où Z désigne les entiers relatifs, D les nombres décimaux, Q les rationnels et R les réels.
• Ensemble de nombres : Collection de nombres distincts sans notion d’ordonnancement.

📝 Points essentiels

• La racine carrée d’un entier naturel est soit un entier naturel, soit un nombre irrationnel.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Intervalles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Ensemble des nombres réels compris entre a et b, avec a et b inclus.
• Intervalles semi-ouverts : [a;b[ inclut a et exclut b, ]a;b] exclut a et inclut b, et ]a;b[ exclut a et b.
• Union et intersection : L’union E ∪ F contient les nombres appartenant à E ou à F, tandis que l’intersection E ∩ F contient les nombres appartenant à E et à F.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’appartenance à un intervalle de centre c et de rayon r vérifie $x \in [c-r;c+r] \Longleftrightarrow |x-c| \le r$.

💡 Astuce mémo

∪ rassemble, ∩ conserve le commun

📖 3. Arithmétique dans les naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel n supérieur ou égal à 2 qui n’est divisible que par 1 et lui-même.
• Décomposition en facteurs premiers : Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique, à l’ordre des facteurs près, en produit de facteurs premiers.

📝 Points essentiels

📌 Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ou 9, par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4, et par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.

• 🔄 La méthode de décomposition consiste à : décomposer les deux entiers en facteurs premiers, retenir les facteurs communs avec les plus petits exposants pour le PGCD, retenir tous les facteurs présents avec les plus grands exposants pour le PPCM

💡 Astuce mémo

Facteurs premiers → PGCD et PPCM

📖 4. Fractions et quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Écriture a/b où a et b sont des entiers et b est non nul ; elle représente le quotient de a par b.
• Inverse d’un réel : Réel 1/a tel que a × 1/a = 1.

📝 Points essentiels

📌 Diviser par un réel non nul a revient à multiplier par son inverse : b/a = b × 1/a.

📐 Formule - Les opérations sur les fractions vérifient $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ et $\frac{a}{c}\times\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}$.

💡 Astuce mémo

Diviser par a revient à multiplier par son inverse

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel x, |x| vaut x si x ≥ 0 et vaut −x si x < 0.
• Distance entre deux nombres : Nombre |a−b|.

★ À maîtriser

📌 La distance entre x et c inférieure ou égale à r se traduit par |x−c| ≤ r.

Compléments

• Pour résoudre une équation de valeur absolue |ax+b|=r avec r positif, on considère les deux cas ax+b=r et ax+b=−r.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance sur une droite graduée

📖 6. Puissances et exposants

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour n entier naturel non nul, aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a.

📝 Points essentiels

📌 Pour a non nul et n entier naturel, a⁻ⁿ = 1/aⁿ et a⁰ = 1.

📐 Formule - Pour des réels non nuls a et b et des entiers m et n, on a $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $a^m/a^n=a^{m-n}$.

📐 Formule - Pour des réels non nuls a et b, on a $(ab)^n=a^n b^n$, $(a/b)^n=a^n/b^n$ et $(a^m)^n=a^{mn}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier les mêmes bases additionne les exposants

📖 7. Notation scientifique et encadrements

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : La notation scientifique d’un réel non nul x est x=a×10ⁿ, où a appartient à ]−10;−1] ∪ [1;10[ et n est un entier relatif.
• Encadrement d’un réel : Deux décimaux a et b tels que a≤x≤b et b−a=10⁻ⁿ.

📝 Points essentiels

• Un encadrement de π à 10⁻³ près est 3,141≤π≤3,142.

💡 Astuce mémo

Notation scientifique normalise l’écriture, encadrement borne la valeur

📖 8. Racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Réel positif dont le carré est égal à a.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels positifs a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et, si b≠0, $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$.

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

Compléments

• On a √(9/25)=3/5 et √32/4=√2.

💡 Astuce mémo

Le carré de la racine redonne le réel positif

📊 Tableaux de synthèse

Hiérarchie des ensembles de nombres