QCM : Nombres et calculs (26 questions)

Explication

L’ensemble $\mathbb{N}$ contient les entiers positifs ou nuls, donc il commence par $0$ et comprend tous les entiers suivants. L’ensemble des entiers positifs peut, selon les conventions, commencer par $1$, ce qui ne correspond pas ici à $\mathbb{N}$.

Explication

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. L’inclusion de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Z}$ traduit notamment que tout naturel est un entier relatif.

Explication

Un intervalle fermé contient tous les réels situés entre ses deux bornes, ainsi que $a$ et $b$. Les bornes sont exclues dans l’intervalle ouvert $]a;b[$, tandis que les deux autres formulations décrivent des intervalles semi-ouverts.

Explication

La notation $[a;b[$ indique que $a$ appartient à l’intervalle et que $b$ n’y appartient pas. La notation $]a;b]$ produit la situation inverse, tandis que $]a;b[$ exclut les deux bornes.

Explication

L’intersection $E \cap F$ rassemble les nombres communs aux deux ensembles, donc ceux qui appartiennent à $E$ et à $F$. L’union $E \cup F$ correspond, elle, aux nombres appartenant à $E$ ou à $F$.

Explication

L’intervalle de centre $c$ et de rayon $r$ est $[c-r;c+r]$, ce qui équivaut à $|x-c| \le r$. L’expression $|x+c|$ mesure une distance par rapport à $-c$, et l’inégalité opposée décrit des points situés à l’extérieur ou sur les bornes.

Explication

Un nombre premier supérieur ou égal à $2$ possède exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même. Le nombre $1$ n’a qu’un seul diviseur positif, donc il ne satisfait pas cette définition.

Explication

La divisibilité par $4$ se vérifie en examinant le nombre formé par les deux derniers chiffres, qui doit être un multiple de $4$. Le dernier chiffre égal à $0$ ou $5$ concerne la divisibilité par $5$, tandis que les autres critères testent d’autres divisibilités.

Explication

Tout entier naturel supérieur ou égal à $2$ admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers, si l’on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs. Cette décomposition peut contenir des facteurs répétés, et $1$ n’est pas un facteur premier.

Explication

Pour le PGCD, on conserve les facteurs présents dans les deux décompositions avec leurs plus petits exposants, tandis que le PPCM prend tous les facteurs présents avec leurs plus grands exposants. Inverser ces choix conduit à échanger les rôles du PGCD et du PPCM.

Explication

Le dénominateur doit être non nul, car une division par zéro n’est pas définie. En revanche, le numérateur peut être nul, et un dénominateur négatif est également possible.

Explication

L’inverse d’un réel non nul s’obtient en échangeant le numérateur et le dénominateur tout en conservant le signe, ce qui donne $-\frac{5}{3}$. Le nombre $\frac{5}{3}$ est l’inverse de $\frac{3}{5}$, sans signe négatif.

Explication

Diviser par un réel non nul revient à multiplier par son inverse, et l’inverse de $-2$ est $-\frac{1}{2}$. Multiplier par $-2$ effectuerait une multiplication et non la division demandée.

Explication

Le produit de deux fractions se calcule en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, donc $\frac{2}{5}\times\frac{3}{7}=\frac{6}{35}$. Les autres expressions ne respectent pas cette règle de multiplication.

Explication

La valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé, donc $|-8|=8$. Le nombre $-8$ est la valeur initiale, et non la distance de ce nombre à zéro.

Explication

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est $|a-b|$, donc ici elle s’écrit $|-3-5|$. L’expression $-3-5$ est une différence orientée et peut être négative, tandis que la distance est positive.

Explication

La distance entre $x$ et $-1$ est $|x-(-1)|=|x+1|$, et elle doit être inférieure ou égale à $4$. L’expression $|x-1|\leq4$ décrit une distance mesurée par rapport à $1$.

Explication

Pour un exposant naturel non nul, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$, donc $3^4=3\times3\times3\times3$. L’exposant indique le nombre de facteurs, et non le nombre de valeurs ajoutées.

Explication

La règle des puissances impose $a^0=1$ pour tout réel non nul $a$. Elle ne permet pas de conclure que $0^0=1$, car ce cas n’est pas défini par cette règle.

Explication

Lorsque la base est la même, le produit de puissances s’obtient en additionnant les exposants : $5^3\times5^2=5^{3+2}=5^5$. Multiplier les exposants donnerait une règle qui ne s’applique pas à ce produit.

Explication

La puissance d’un produit se distribue aux deux facteurs : $(ab)^n=a^n b^n$, donc $(2\times5)^3=2^3\times5^3$. Une puissance ne transforme pas le produit en somme et ne laisse pas un seul facteur sans exposant.

Explication

La notation scientifique impose un coefficient compris entre $-10$ et $-1$ pour un nombre négatif, ainsi qu’une puissance entière de $10$. Les écritures proposées avec un coefficient inférieur à $1$ ou supérieur à $10$ ne respectent pas cette condition, et la dernière change le signe du nombre.

Explication

L’amplitude d’un encadrement est la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure, donc $3,15-3,14=0,01=10^{-2}$. Les nombres $3,14$ et $3,15$ sont les bornes, tandis que l’amplitude n’est pas le nombre encadré.

Explication

La racine carrée désigne la solution positive, donc $\sqrt{25}=5$, alors que l’équation $x^2=25$ possède deux solutions opposées, $-5$ et $5$. Confondre la racine carrée avec l’ensemble des solutions de l’équation oublie la solution négative.

Explication

La racine d’un produit se décompose selon $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$, donc $\sqrt{72}=\sqrt8\times\sqrt9=3\sqrt8$. Cette propriété ne transforme pas une racine de produit en somme de racines et ne permet pas d’ajouter les nombres sous les radicaux.

Explication

Pour tout réel $a$, on a $\sqrt{a^2}=|a|$ ; ainsi $\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$. La racine carrée fournit une valeur positive, ce qui exclut $-7$.