QCM : Nombres et calculs numériques — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres entiers relatifs, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’ensemble Z\mathbb{Z} contient des entiers négatifs, zéro et des entiers positifs.
Le nombre 00 appartient à l’ensemble des entiers relatifs.
Le nombre −5-5 appartient à N\mathbb{N} et à Z\mathbb{Z}.
L’ensemble Z\mathbb{Z} commence par 0;1;2;3;…0;1;2;3;\ldots.
Le nombre −2-2 est un entier relatif.

L’ensemble $$\mathbb{Z}$$ contient des entiers négatifs, zéro et des entiers positifs. · Le nombre $$0$$ appartient à l’ensemble des entiers relatifs. · Le nombre $$-2$$ est un entier relatif.

Explication

Les entiers relatifs comprennent les nombres négatifs, 00 et les nombres positifs; ainsi 00 et −2-2 appartiennent à Z\mathbb{Z}. En revanche, −5-5 n’est pas naturel et la description de Z\mathbb{Z} inclut les entiers négatifs.

2. Les relations entre les ensembles de nombres naturels et relatifs comprennent :

L’inclusion des naturels dans les relatifs se note N⊂Z\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}.
Le nombre −4-4 appartient à Z\mathbb{Z} mais pas à N\mathbb{N}.
L’ensemble Z\mathbb{Z} est inclus dans l’ensemble N\mathbb{N}.
Le nombre 33 appartient à N\mathbb{N} mais pas à Z\mathbb{Z}.
Tout nombre naturel est aussi un nombre entier relatif.

L’inclusion des naturels dans les relatifs se note $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$$. · Le nombre $$-4$$ appartient à $$\mathbb{Z}$$ mais pas à $$\mathbb{N}$$. · Tout nombre naturel est aussi un nombre entier relatif.

Explication

L’ensemble des naturels est inclus dans celui des relatifs, ce qui se note N⊂Z\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. Les nombres négatifs comme −4-4 sont relatifs sans être naturels; inversement, 33 appartient aux deux ensembles.

3. Concernant la relation entre multiples et diviseurs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Si m=k×dm=k\times d, alors dd est un diviseur de mm.
Si m=k+dm=k+d, alors dd est un multiple de mm.
Si m=k×dm=k\times d, alors mm est un diviseur de dd.
Si m=k×dm=k\times d, alors dd est un multiple de mm.
Si m=k×dm=k\times d, alors kk est un multiple de mm.

Si $$m=k\times d$$, alors $$d$$ est un diviseur de $$m$$.

Explication

Lorsque m=k×dm=k\times d, dd est un diviseur de mm et mm est un multiple de dd. Une addition comme m=k+dm=k+d ne définit pas cette relation. Dans l’égalité multiplicative, mm n’est pas un diviseur de dd, et kk n’est pas un multiple de mm.

4. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres pairs, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Un entier pair peut s’écrire sous la forme n=2k+1n=2k+1.
Un entier pair peut s’écrire sous la forme n=2kn=2k.
Un entier pair est divisible par 22.
Le nombre −6-6 est pair, car il s’écrit −6=2×(−3)-6=2\times(-3).
Le nombre 00 est pair, car il s’écrit 0=2×00=2\times0.

Un entier pair peut s’écrire sous la forme $$n=2k$$. · Un entier pair est divisible par $$2$$. · Le nombre $$-6$$ est pair, car il s’écrit $$-6=2\times(-3)$$. · Le nombre $$0$$ est pair, car il s’écrit $$0=2\times0$$.

Explication

Un entier est pair lorsqu’il existe un entier kk tel que n=2kn=2k; il est donc divisible par 22. Cela concerne aussi 00 et les entiers négatifs comme −6-6, tandis que la forme 2k+12k+1 caractérise les entiers impairs.

5. Concernant la caractérisation des nombres impairs, la(les)quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) juste(s) ?

Un entier impair s’écrit sous la forme n=2k+1n=2k+1.
Le nombre 88 est impair car il s’écrit 8=2×4+18=2\times4+1.
Un entier impair s’écrit sous la forme n=2kn=2k.
Le nombre −4-4 est impair car il s’écrit −4=2×(−2)+1-4=2\times(-2)+1.
Le nombre 77 est impair car il s’écrit 7=2×3+17=2\times3+1.

Un entier impair s’écrit sous la forme $$n=2k+1$$. · Le nombre $$7$$ est impair car il s’écrit $$7=2\times3+1$$.

Explication

Un entier impair est de la forme 2k+12k+1; ainsi 7=2×3+17=2\times3+1 est impair. En revanche, 88 et −4-4 sont pairs, et la forme 2k2k caractérise les entiers pairs.

6. Un nombre premier possède les caractéristiques suivantes :

Le nombre 11 n’est pas premier, car il ne possède pas deux diviseurs distincts.
Un nombre premier possède au moins trois diviseurs.
Ses deux diviseurs sont 00 et lui-même.
Il possède exactement deux diviseurs.
C’est un nombre entier naturel.

Le nombre $$1$$ n’est pas premier, car il ne possède pas deux diviseurs distincts. · Il possède exactement deux diviseurs. · C’est un nombre entier naturel.

Explication

Un nombre premier est un entier naturel possédant exactement deux diviseurs: 11 et lui-même. Le nombre 11 n’est donc pas premier, car il n’a pas deux diviseurs distincts; 00 n’est pas un diviseur premier et trois diviseurs contredisent la définition.

7. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres décimaux, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le dénominateur d’une telle écriture est une puissance de 1010.
Tout nombre rationnel possède une écriture avec un dénominateur puissance de 1010.
Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme m10n\frac{m}{10^n}.
L’exposant nn est un entier négatif.
Dans cette écriture, mm est un entier relatif.

Le dénominateur d’une telle écriture est une puissance de $$10$$. · Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $$\frac{m}{10^n}$$. · Dans cette écriture, $$m$$ est un entier relatif.

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme m10n\frac{m}{10^n}, où mm est un entier relatif et nn un entier positif. Le dénominateur est donc une puissance de 1010. L’exposant nn n’est pas négatif, et tout nombre rationnel ne possède pas une écriture de cette forme.

8. Une comparaison entre les exemples de nombres décimaux et rationnels permet d’affirmer que :

Le nombre −1711-\frac{17}{11} est présenté comme un nombre décimal.
Le nombre 12,4512,45 s’écrit 124510\frac{1245}{10}.
Le nombre 12,4512,45 s’écrit 1245100\frac{1245}{100}.
Le nombre 12,4512,45 appartient à D\mathbb{D}.
Le nombre −1711-\frac{17}{11} n’appartient pas à l’ensemble des rationnels.

Le nombre $$12,45$$ s’écrit $$\frac{1245}{100}$$. · Le nombre $$12,45$$ appartient à $$\mathbb{D}$$.

Explication

Le nombre 12,4512,45 est décimal car 12,45=124510012,45=\frac{1245}{100}. L’exemple identifie −1711-\frac{17}{11} comme rationnel, sans le présenter comme décimal; par ailleurs, 124510=124,5\frac{1245}{10}=124,5 et non 12,4512,45.

9. Concernant les nombres réels, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La droite graduée représentant les nombres réels est appelée droite numérique.
Les nombres réels sont représentés par des points repérés sur une droite graduée.
Chaque nombre réel peut être associé à un point de la droite numérique.
L’ensemble des nombres réels comprend les nombres rationnels mais exclut les nombres irrationnels.
L’ensemble des nombres réels regroupe les abscisses des points d’une droite graduée.

La droite graduée représentant les nombres réels est appelée droite numérique. · Les nombres réels sont représentés par des points repérés sur une droite graduée. · Chaque nombre réel peut être associé à un point de la droite numérique. · L’ensemble des nombres réels regroupe les abscisses des points d’une droite graduée.

Explication

La droite graduée représentant les nombres réels est appelée droite numérique. Les nombres réels sont les abscisses des points de cette droite et chaque réel peut être associé à un point repéré. Ils comprennent des nombres rationnels et irrationnels ; ils ne se limitent donc pas aux rationnels et n’excluent pas les irrationnels.

10. Parmi les propositions suivantes concernant 2\sqrt{2}, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

2\sqrt{2} peut s’écrire comme le quotient de deux entiers non nuls.
2\sqrt{2} est un nombre irrationnel.
L’irrationalité de 2\sqrt{2} signifie qu’il ne s’écrit pas comme un quotient de deux entiers.
Un nombre rationnel possède une écriture décimale finie non périodique.
Le nombre 2\sqrt{2} est rationnel car il est la racine carrée d’un entier.

$$\sqrt{2}$$ est un nombre irrationnel. · L’irrationalité de $$\sqrt{2}$$ signifie qu’il ne s’écrit pas comme un quotient de deux entiers.

Explication

2\sqrt{2} est un nombre irrationnel et ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers. L’irrationalité signifie précisément l’absence d’une telle écriture fractionnaire. Un nombre rationnel possède au contraire une écriture décimale finie ou infinie périodique ; une racine carrée d’un entier n’est pas automatiquement rationnelle.

11. Concernant l’intervalle ]2 ; 8]]2\ ;\ 8] :

Le réel 8 est exclu de cet intervalle.
Il correspond à l’inégalité 2<x≤82 < x \leq 8.
Les deux bornes de cet intervalle sont exclues.
Le réel 2 appartient à cet intervalle.
L’intervalle correspond à l’inégalité 2≤x<82 \leq x < 8.

Il correspond à l’inégalité $$2 < x \leq 8$$.

Explication

La notation ]2 ; 8]]2\ ;\ 8] exclut 2 et inclut 8, ce qui donne 2<x≤82 < x \leq 8. Ainsi, 2 n’appartient pas à l’intervalle, 8 y appartient, et aucune des deux autres descriptions d’exclusion ne convient.

12. L’intersection de deux intervalles contient :

Les réels appartenant à au moins l’un des deux intervalles.
Une partie pouvant être vide si les intervalles ne se recouvrent pas.
Les éléments communs aux deux intervalles considérés.
Les nombres vérifiant simultanément les conditions des deux intervalles.
Les réels appartenant au premier intervalle et au second.

Une partie pouvant être vide si les intervalles ne se recouvrent pas. · Les éléments communs aux deux intervalles considérés. · Les nombres vérifiant simultanément les conditions des deux intervalles. · Les réels appartenant au premier intervalle et au second.

Explication

L’intersection rassemble les réels communs aux deux intervalles, donc ceux qui satisfont simultanément leurs conditions. Elle peut être vide en l’absence de recouvrement ; l’appartenance à au moins un intervalle décrit l’union.

13. Quelles sont les réponses exactes au sujet des intervalles [3 ; 7][3\ ;\ 7] et [5 ; +∞[[5\ ;\ +\infty[ ?

L’intervalle [3 ; 7][3\ ;\ 7] ne possède qu’une borne réelle.
L’intervalle [5 ; +∞[[5\ ;\ +\infty[ possède une borne supérieure réelle égale à +∞+\infty.
L’intervalle [5 ; +∞[[5\ ;\ +\infty[ contient les réels supérieurs ou égaux à 3.
L’intervalle [3 ; 7][3\ ;\ 7] contient les réels compris entre 3 et 7.
Les deux intervalles ont une borne supérieure non réelle.

L’intervalle $$[3\ ;\ 7]$$ contient les réels compris entre 3 et 7.

Explication

L’intervalle [3 ; 7][3\ ;\ 7] contient les réels compris entre 3 et 7, avec deux bornes réelles, 3 et 7. L’intervalle [5 ; +∞[[5\ ;\ +\infty[ contient les réels supérieurs ou égaux à 5, notamment 5. Il n’a pas de borne supérieure réelle, car +∞+\infty ne constitue pas un réel.

14. Concernant la valeur absolue d’un réel :

La valeur absolue d’un réel est toujours négative ou nulle.
La valeur absolue mesure la position signée d’un nombre sur la droite.
La valeur absolue de −5-5 est égale à 5.
La valeur absolue de −5-5 est égale à −5-5.
La valeur absolue de xx représente sa distance à 0.

La valeur absolue de $$-5$$ est égale à 5. · La valeur absolue de $$x$$ représente sa distance à 0.

Explication

La valeur absolue est la distance du nombre à 0 ; elle est donc positive ou nulle. Ainsi, ∣−5∣=5|-5|=5, tandis que −5-5 reste un nombre négatif et la valeur absolue ne représente pas une position signée.

15. Parmi les propositions suivantes concernant la distance entre deux réels aa et xx, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La distance entre aa et xx est donnée par ∣x−a∣|x-a|.
La distance entre aa et xx est donnée par a−xa-x sans valeur absolue.
Les expressions ∣x−a∣|x-a| et ∣a+x∣|a+x| représentent toujours cette distance.
La distance entre aa et xx peut être négative lorsque x<ax<a.
La distance entre aa et xx est donnée par x−ax-a sans valeur absolue.

La distance entre $$a$$ et $$x$$ est donnée par $$|x-a|$$.

Explication

La distance entre aa et xx vaut ∣x−a∣|x-a|, expression également égale à ∣a−x∣|a-x|. Les différences sans valeur absolue peuvent être négatives et ne représentent donc pas directement une distance ; la somme des deux réels ne convient pas en général.

16. Concernant l’inégalité ∣x−a∣≤r|x-a|\leq r avec r>0r>0 :

Elle impose que xx soit situé à une distance strictement supérieure à rr de aa.
Elle équivaut à x∈[a−r ; a+r]x\in[a-r\ ;\ a+r].
Elle se transforme en x∈[a+r ; a−r]x\in[a+r\ ;\ a-r].
Elle décrit les réels situés à une distance inférieure ou égale à rr de aa.
Elle équivaut à x∈]a−r ; a+r[x\in]a-r\ ;\ a+r[.

Elle équivaut à $$x\in[a-r\ ;\ a+r]$$. · Elle décrit les réels situés à une distance inférieure ou égale à $$r$$ de $$a$$.

Explication

L’inégalité ∣x−a∣≤r|x-a|\leq r décrit les nombres dont la distance à aa est au plus rr, soit l’intervalle fermé [a−r ; a+r][a-r\ ;\ a+r]. Les bornes sont incluses, contrairement à l’intervalle ouvert proposé, et l’ordre a+r ; a−ra+r\ ;\ a-r est incorrect.

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Que sont les nombres entiers naturels ?

Ce sont les nombres de l’ensemble ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}.

Que sont les nombres entiers relatifs ?

Ce sont les nombres de l’ensemble ℤ = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}.

Que signifie ℕ ⊂ ℤ ?

L’ensemble des nombres entiers naturels est inclus dans celui des nombres entiers relatifs.

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