Fiche de révision : Nombres et calculs numériques

📋 Plan du Cours

1. Nombres entiers naturels et relatifs
2. Multiples diviseurs et nombres premiers
3. Nombres décimaux et rationnels
4. Nombres réels et irrationalité
5. Intervalles et opérations ensemblistes
6. Valeur absolue et distance

📖 1. Nombres entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers naturels : Nombres de l’ensemble ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}
• Nombres entiers relatifs : Nombres de l’ensemble ℤ = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble des nombres entiers naturels est inclus dans l’ensemble des nombres entiers relatifs, ce qui se note ℕ ⊂ ℤ.

💡 Astuce mémo

Naturels positifs, relatifs avec signes

📖 2. Multiples diviseurs et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers m et d, si un entier k vérifie $m = k \times d$, alors d est un diviseur de m et m est un multiple de d.
• Nombre pair : Un entier n est pair si et seulement s’il existe un entier k tel que $n = 2k$.
• Nombre impair : Un entier n est impair si et seulement s’il existe un entier k tel que $n = 2k + 1$.
• Nombre premier : Un nombre premier est un nombre entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

📝 Points essentiels

• Comme $55 = 11 \times 5$, 5 et 11 sont des diviseurs de 55, 55 est un multiple de 5 et de 11, et 11 divise 55.

• Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

💡 Astuce mémo

Divisibilité → multiples, diviseurs et primalité

📖 3. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : L’ensemble des nombres décimaux, noté 𝔻, est l’ensemble des quotients qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{m}{10^n}$, avec m entier relatif et n entier positif.

📝 Points essentiels

• 12,45 appartient à 𝔻 car il s’écrit $\frac{1245}{100}$, et $-\frac{17}{11}$ appartient à ℚ par définition.

💡 Astuce mémo

Décimal : dénominateur puissance de 10 ; rationnel : dénominateur entier non nul

📖 4. Nombres réels et irrationalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : L’ensemble des nombres réels ℝ est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée, appelée droite numérique.

★ À maîtriser

• Le nombre $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel.

Compléments

• La démonstration par l’absurde de l’irrationalité de √2 suppose √2 = p/q avec p et q premiers entre eux, puis montre que p et q sont simultanément pairs, ce qui contredit leur propriété d’être premiers entre eux.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée contenant tous les réels

📖 5. Intervalles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre des bornes, éventuellement avec une borne exclue.

★ À maîtriser

📌 L’intervalle ]2 ; 8] correspond à l’inégalité $2 < x \leq 8$, car 2 est exclu et 8 est inclus.

📌 L’intersection de deux intervalles contient les réels qui appartiennent aux deux intervalles à la fois.

Compléments

• L’intervalle [3 ; 7] contient les réels compris entre 3 et 7, tandis que [5 ; +∞[ contient les réels supérieurs ou égaux à 5.

• On a [−2 ; 5] ∩ ]−3 ; 1[ = [−2 ; 1[ et ]−3 ; 5[ ∪ ]4 ; 7] = ]−3 ; 7].

💡 Astuce mémo

Intersection = à la fois ; union = au moins l’un

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x, notée |x|, est le nombre réel égal à sa distance à 0.
• Distance entre deux réels : La distance entre les réels a et x est |x − a|, ce qui est aussi égal à |a − x|.

★ À maîtriser

📌 Pour a et x réels et r > 0, l’inégalité |x − a| ≤ r est équivalente à l’appartenance x ∈ [a − r ; a + r].

Compléments

• La distance entre −5 et 4 est |−5 − 4| = |−9| = 9.

• Pour a = 5 et r = 0,1, l’inégalité |x − 5| ≤ 0,1 équivaut à x ∈ [4,9 ; 5,1].

💡 Astuce mémo

Valeur absolue d’une différence → distance entre deux réels