Fiche de révision : Opérations sur les nombres

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et opposés
2. Sommes et différences relatives
3. Produits et quotients relatifs
4. Priorités de calcul
5. Écriture fractionnaire
6. Calculs sur les fractions

📖 1. Nombres relatifs et opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : formé d’un signe + ou − et d’un nombre appelé distance à zéro
• Nombres opposés : Deux nombres relatifs sont opposés lorsque leur somme est égale à zéro ; ils ont la même distance à zéro et des signes contraires

📝 Points essentiels

• Les nombres −28 et +28 sont opposés car leur somme vaut zéro.

💡 Astuce mémo

Même distance, signes contraires : les opposés s’annulent.

📖 2. Sommes et différences relatives

★ À maîtriser

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun et on additionne leurs distances à zéro.

• Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, le résultat prend le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et sa distance à zéro est la différence des deux distances.

• Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

Compléments

• 🔄 Le calcul d’une somme algébrique suit ces étapes:
  1. Regrouper les nombres positifs
  2. Regrouper les nombres négatifs
  3. Calculer la différence entre les deux sommes

📌 De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro ; de deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro ; entre deux nombres de signes contraires, le nombre positif est le plus grand.

💡 Astuce mémo

Même signe : additionner ; signes contraires : soustraire.

📖 3. Produits et quotients relatifs

★ À maîtriser

📌 Pour multiplier ou diviser des nombres relatifs, on multiplie ou divise leurs distances à zéro et on applique la règle des signes.

📌 Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat d’un produit est positif ; s’il est impair, le résultat est négatif.

Compléments

• Le produit (−4) × (+7) × (−2) est positif et vaut +56, car il comporte deux facteurs négatifs.

💡 Astuce mémo

Compter les signes négatifs : pair positif, impair négatif.

📖 4. Priorités de calcul

★ À maîtriser

• 🔄 L’ordre des priorités est:
  1. Les calculs entre parenthèses
  2. Les calculs d’exposants
  3. Les multiplications et divisions de gauche à droite
  4. Les additions et soustractions de gauche à droite

Compléments

• Dans l’expression C = 13 + 5 × (3 − 11) − 7, le résultat est −34 après avoir calculé d’abord la parenthèse puis la multiplication.

💡 Astuce mémo

PEMDAS : Parenthèses, Exposants, Multiplications/Divisions, Additions/Soustractions.

📖 5. Écriture fractionnaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture fractionnaire : L’écriture fractionnaire du quotient de a par b, avec b ≠ 0, se note $\frac{a}{b}$ et vérifie a ÷ b = $\frac{a}{b}$.
• Numérateur et dénominateur : Dans $\frac{a}{b}$, a est le numérateur et b est le dénominateur.
• Fraction : Lorsque a et b sont des nombres entiers avec b ≠ 0, $\frac{a}{b}$ est une fraction.
• Nombre rationnel : Lorsque a et b sont des nombres relatifs avec b ≠ 0, $\frac{a}{b}$ est un nombre rationnel.

💡 Astuce mémo

Numérateur au-dessus, dénominateur au-dessous, dénominateur non nul.

📖 6. Calculs sur les fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse : Pour deux nombres relatifs non nuls a et b, l’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$.

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des nombres en écriture fractionnaire, on les ramène au même dénominateur, puis on additionne ou soustrait les numérateurs en conservant le dénominateur commun.

• Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{c} \times \frac{b}{d} = \frac{a \times b}{c \times d}$.

• Diviser par un nombre en écriture fractionnaire revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{c} \div \frac{b}{d} = \frac{a}{c} \times \frac{d}{b} = \frac{a \times d}{c \times b}$, avec les dénominateurs non nuls.

Compléments

• L’opération $\frac{1}{5} \div \frac{3}{4}$ donne $\frac{4}{15}$ en multipliant $\frac{1}{5}$ par l’inverse $\frac{4}{3}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour additionner ; multiplier en croix pour diviser.

📊 Tableaux de synthèse

Règles des opérations fractionnaires