Fiche de révision : Nombres et ensembles

📋 Plan du Cours

1. Emboîtement des ensembles numériques
2. Naturels et entiers relatifs
3. Décimaux rationnels irrationnels
4. Reconnaître un nombre décimal
5. Symboles et classement minimal

📖 1. Emboîtement des ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Les nombres réels constituent l’ensemble $\mathbb{R}$, qui contient notamment les nombres rationnels et les nombres irrationnels comme $\sqrt{2}$ et $\pi$.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, où les naturels sont inclus dans les entiers, eux-mêmes inclus dans les décimaux, les rationnels et les réels.

• En France, l’ensemble des naturels contient zéro et s’écrit $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$.

💡 Astuce mémo

N → Z → D → Q → R, du plus petit au plus large

📖 2. Naturels et entiers relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : nombres entiers positifs ou nuls, comme 0, 1, 2, 10 et 125.
• Entiers relatifs : tous les nombres entiers positifs, négatifs ou nuls, comme -3, -2, -1, 0, 1, 2 et 3.

💡 Astuce mémo

N accepte 0 mais refuse les négatifs, tandis que Z accepte les deux signes

📖 3. Décimaux rationnels irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : possède un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 0,5, 2,75, -13 et 49,0625.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel s’écrit sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}$, où $b \neq 0$.

★ À maîtriser

📌 Tout entier est un nombre décimal, car il peut s’écrire avec une partie décimale nulle, par exemple 5 = 5,0, donc $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.

📌 Un nombre décimal périodique est rationnel mais pas décimal, tandis qu’un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous forme de fraction.

Compléments

• On a $0{,}333\ldots=\frac{1}{3}$, tandis que $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ et $\pi$ sont des nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

Décimal fini, rationnel périodique, irrationnel sans fraction

📖 4. Reconnaître un nombre décimal

★ À maîtriser

• Pour déterminer si une fraction est décimale, on effectue la division et on vérifie si le résultat possède un nombre fini de chiffres après la virgule.

• La division $\frac{8}{7}=1{,}142857142857\ldots$ est infinie périodique, donc $\frac{8}{7}\in\mathbb{Q}$ mais $\frac{8}{7}\notin\mathbb{D}$.

Compléments

• La division $785\div16=49{,}0625$ est finie, donc $\frac{785}{16}\in\mathbb{D}$.

📌 Une écriture décimale infinie sans période correspond à un nombre irrationnel.

💡 Astuce mémo

Division finie → décimal ; répétition infinie → rationnel non décimal

📖 5. Symboles et classement minimal

★ À maîtriser

• Le symbole ∈ signifie « appartient à », ∉ signifie « n’appartient pas à » et ⊂ signifie « est inclus dans ».

• Pour classer un nombre dans le plus petit ensemble possible, on teste successivement son appartenance à $\mathbb{N}$, puis à $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et enfin $\mathbb{R}$.

Compléments

• On écrit $3\in\mathbb{N}$, $-2\notin\mathbb{N}$ et $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$.

• Le nombre $-\frac{1}{4}=-0{,}25$ appartient à $\mathbb{D}$ mais pas à $\mathbb{Z}$, tandis que $\frac{5}{7}\in\mathbb{Q}$ mais $\frac{5}{7}\notin\mathbb{D}$.

• On a $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ mais $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$, et $\pi\in\mathbb{R}$ mais $\pi\notin\mathbb{Q}$.

💡 Astuce mémo

Tester N, puis Z, D, Q et enfin R

📊 Tableaux de synthèse

Caractéristiques des ensembles numériques