QCM : Nombres et ensembles — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle chaîne décrit correctement l’emboîtement des ensembles numériques ?

Q⊂R⊂D⊂Z⊂N\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers, puis dans les décimaux, les rationnels et enfin les réels. L’inclusion de Z\mathbb{Z} dans N\mathbb{N} est incorrecte, car les entiers négatifs ne sont pas naturels.

2. Dans la convention utilisée en France, lequel de ces énoncés est correct ?

−1∈N-1 \in \mathbb{N}, car les naturels sont des entiers
12∈N\frac{1}{2} \in \mathbb{N}, car il est rationnel
0∉N0 \notin \mathbb{N}, car les naturels sont positifs
0∈N0 \in \mathbb{N}, car zéro est un naturel

$$0 \in \mathbb{N}$$, car zéro est un naturel

Explication

En France, l’ensemble des naturels commence par zéro et s’écrit N={0;1;2;3;…}\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}. L’idée que zéro serait exclu correspond à une autre convention, tandis que −1-1 et 12\frac{1}{2} n’appartiennent pas aux naturels.

3. Quel ensemble contient les nombres entiers positifs ou nuls, tels que 00, 11 et 125125 ?

L’ensemble des naturels N\mathbb{N}
L’ensemble des irrationnels
L’ensemble des rationnels Q\mathbb{Q}
L’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}

L’ensemble des naturels $$\mathbb{N}$$

Explication

Les nombres naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls, notamment 00, 11 et 125125. Les entiers relatifs forment un ensemble plus large qui comprend aussi les nombres négatifs.

4. Quel nombre appartient à l’ensemble des entiers relatifs mais pas à l’ensemble des naturels ?

1010
22
00
−3-3

$$-3$$

Explication

Les entiers relatifs comprennent les nombres positifs, négatifs et zéro, donc −3-3 en fait partie. Les naturels comprennent zéro et les entiers positifs, mais pas les nombres négatifs.

5. Lequel de ces nombres est décimal au sens d’un nombre ayant un nombre fini de chiffres après la virgule ?

π\pi
49,062549,0625
0,333…0,333\ldots
2\sqrt{2}

$$49,0625$$

Explication

49,062549,0625 possède un nombre fini de chiffres après la virgule et est donc décimal. L’écriture 0,333…0,333\ldots est périodique, tandis que 2\sqrt{2} et π\pi sont irrationnels.

6. Pourquoi le nombre entier 55 appartient-il aussi à l’ensemble des nombres décimaux ?

Il est nécessairement une fraction dont le dénominateur vaut zéro.
Il comporte une période décimale répétée après la virgule.
Il possède une infinité de chiffres non nuls après la virgule.
Il peut s’écrire 5,05,0 avec une partie décimale nulle.

Il peut s’écrire $$5,0$$ avec une partie décimale nulle.

Explication

Tout entier peut être écrit avec une partie décimale nulle, par exemple 5=5,05=5,0, ce qui montre que Z⊂D\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}. Une écriture périodique caractérise plutôt certains rationnels non décimaux, et un dénominateur nul est impossible.

7. Quelle condition doit respecter l’écriture rationnelle ab\frac{a}{b} ?

a∈Za \in \mathbb{Z} et b∈Zb \in \mathbb{Z} avec a≠0a \neq 0
a∈Za \in \mathbb{Z} et b∈Zb \in \mathbb{Z} avec b≠0b \neq 0
a∈Na \in \mathbb{N} et b=0b=0 pour autoriser toutes les valeurs
a∈Ra \in \mathbb{R} et b∈Nb \in \mathbb{N} avec b=0b=0

$$a \in \mathbb{Z}$$ et $$b \in \mathbb{Z}$$ avec $$b \neq 0$$

Explication

Un nombre rationnel s’écrit ab\frac{a}{b} avec aa et bb entiers et un dénominateur non nul. Le numérateur peut être nul, contrairement au dénominateur, qui ne peut pas valoir zéro.

8. Quelle affirmation distingue correctement un nombre décimal périodique d’un nombre irrationnel ?

Un décimal périodique est naturel, tandis qu’un irrationnel est toujours un entier relatif.
Un décimal périodique est rationnel, tandis qu’un irrationnel ne s’écrit pas sous forme de fraction.
Un décimal périodique est réel sans être rationnel, tandis qu’un irrationnel est décimal.
Un décimal périodique est irrationnel, tandis qu’un irrationnel possède une écriture décimale finie.

Un décimal périodique est rationnel, tandis qu’un irrationnel ne s’écrit pas sous forme de fraction.

Explication

Un nombre décimal périodique est rationnel, car il peut s’écrire comme une fraction, tandis qu’un irrationnel ne peut pas être représenté sous cette forme. Par exemple, 0,333…=130,333\ldots=\frac{1}{3}, alors que 2\sqrt{2} est irrationnel.

9. Pour déterminer si une fraction est un nombre décimal, quelle méthode faut-il appliquer ?

Comparer le numérateur et le dénominateur pour vérifier lequel est le plus grand
Effectuer la division et vérifier que l’écriture obtenue comporte un nombre fini de chiffres après la virgule
Observer si le dénominateur est supérieur ou inférieur au numérateur
Transformer la fraction en nombre entier en supprimant la virgule éventuelle

Effectuer la division et vérifier que l’écriture obtenue comporte un nombre fini de chiffres après la virgule

Explication

Une fraction est décimale lorsque sa division donne une écriture comportant un nombre fini de chiffres après la virgule. Comparer les valeurs du numérateur et du dénominateur ne permet pas de conclure sur la fin de l’écriture décimale.

10. Pourquoi la fraction 87\frac{8}{7} n’appartient-elle pas à D\mathbb{D} ?

Sa division produit une écriture décimale finie mais non entière
Son quotient est un nombre entier négatif
Sa division produit une écriture décimale infinie et périodique
Son dénominateur ne peut pas être utilisé dans une division décimale

Sa division produit une écriture décimale infinie et périodique

Explication

La division 87=1,142857142857…\frac{8}{7}=1,142857142857\ldots se poursuit indéfiniment avec une période, donc l’écriture n’est pas décimale au sens de D\mathbb{D}. Une écriture finie, comme celle de 78516\frac{785}{16}, appartiendrait en revanche à D\mathbb{D}.

11. Quelle relation entre les symboles est correctement associée à leur signification ?

∈\in indique qu’un ensemble est inclus dans un autre ensemble
∈\in relie un nombre à un ensemble, tandis que ⊂\subset relie deux ensembles
⊂\subset relie un nombre à un ensemble, tandis que ∈\in relie deux ensembles
∉\notin indique qu’un ensemble est inclus dans un autre ensemble

$$\in$$ relie un nombre à un ensemble, tandis que $$\subset$$ relie deux ensembles

Explication

Le symbole ∈\in exprime l’appartenance d’un nombre à un ensemble, alors que ⊂\subset exprime l’inclusion d’un ensemble dans un autre. Confondre ces deux symboles revient à confondre une relation entre nombre et ensemble avec une relation entre ensembles.

12. Dans quel ordre faut-il tester les ensembles pour classer un nombre dans le plus petit ensemble possible ?

Q\mathbb{Q}, puis R\mathbb{R}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D} et enfin N\mathbb{N}
R\mathbb{R}, puis Q\mathbb{Q}, D\mathbb{D}, Z\mathbb{Z} et enfin N\mathbb{N}
D\mathbb{D}, puis N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} et enfin R\mathbb{R}
N\mathbb{N}, puis Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et enfin R\mathbb{R}

$$\mathbb{N}$$, puis $$\mathbb{Z}$$, $$\mathbb{D}$$, $$\mathbb{Q}$$ et enfin $$\mathbb{R}$$

Explication

Le classement commence par le plus petit ensemble proposé, N\mathbb{N}, puis se poursuit dans l’ordre Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}. Commencer par R\mathbb{R} ne permettrait pas d’identifier directement le plus petit ensemble auquel le nombre appartient.

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Quelle est la chaîne d'inclusion des ensembles numériques ?

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Dans la chaîne d'inclusion, où sont inclus les entiers ?

Les entiers sont inclus dans les décimaux.

Quels ensembles contiennent les naturels dans la chaîne d'emboîtement ?

Les naturels sont inclus dans les entiers.

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