Fiche de révision : Nombres et ensembles numériques

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et entiers
2. Multiples et parité
3. Nombres rationnels
4. Nombres réels et irrationnels
5. Écritures décimale et scientifique
6. Preuves et encadrements

📖 1. Ensembles et entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$.
• Entiers relatifs : L’ensemble $\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1{,}0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$.
• Ensemble : Regroupe des objets distincts, décrits entre accolades, et les symboles ∈ et ∉ indiquent respectivement l’appartenance et la non-appartenance.

💡 Astuce mémo

N contient les naturels, puis Z ajoute leurs opposés.

📖 2. Multiples et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers a et b, a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que $a=kb$, et b est alors un diviseur de a.
• Entier pair : Un multiple de 2, donc il s’écrit $a=2k$ avec k entier et son dernier chiffre appartient à {0, 2, 4, 6, 8}.
• Entier impair : S’écrit $a=2k+1$ avec k entier et n’est pas un multiple de 2.

📝 Points essentiels

📌 La somme de deux multiples d’un entier a est encore un multiple de a.

📌 Le carré d’un entier impair est impair.

💡 Astuce mémo

Écriture en 2k ou 2k+1 → parité de l’entier.

📖 3. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : L’ensemble des rationnels, noté Q, regroupe les nombres qui s’écrivent $\frac{a}{b}$ avec a et b entiers et $b>0$.

★ À maîtriser

• Tous les entiers et tous les nombres décimaux sont des rationnels.

Compléments

• Les nombres 4/2=2, 3/10 et 1/3 sont rationnels, mais 1/3 n’est pas un nombre décimal.

💡 Astuce mémo

1/3 est rationnel, mais n’est pas décimal.

📖 4. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Toute écriture décimale éventuellement infinie ; l’ensemble des réels est noté R.
• Nombres irrationnels : Un réel qui n’est pas rationnel ; l’ensemble des irrationnels peut être noté $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

• Les nombres réels √2 et π sont irrationnels.

Compléments

• Les nombres réels sont représentés graphiquement par les abscisses des points d’une droite.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📖 5. Écritures décimale et scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Les nombres qui s’écrivent en base 10 avec un nombre fini de chiffres, sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec a entier et n naturel.
• Écriture scientifique : De la forme $a\times10^n$ avec n entier et $1\leq a<10$.

📝 Points essentiels

• Le nombre 1,591 s’écrit $\frac{1591}{10^3}$, mais aussi $\frac{15910}{10^4}$ et $\frac{159100}{10^5}$.

• Le nombre 1/4 s’écrit en notation scientifique $2{,}5\times10^{-1}$.

💡 Astuce mémo

Écriture décimale finie versus écriture scientifique normalisée.

📖 6. Preuves et encadrements

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par l’absurde : Consiste à supposer vrai le contraire de ce que l’on veut démontrer, puis à aboutir à un résultat faux pour conclure que la supposition est fausse.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour démontrer par l’absurde: supposer le contraire de la proposition, raisonner avec cette supposition jusqu’à une contradiction, conclure que la supposition est fausse

📌 Le nombre 1/3 n’est pas décimal, car supposer $\frac13=\frac{a}{10^n}$ conduirait à dire que $10^n$ est un multiple de 3, alors que la somme de ses chiffres vaut 1.

📌 Tout nombre peut être encadré par deux nombres décimaux avec une amplitude aussi petite que souhaitée.

Compléments

• Un encadrement de 1/3 à 10^-3 près est $0{,}333<\frac13<0{,}334$, dont l’amplitude vaut 10^-3.

• Pour encadrer √2 à 10^-2 près par balayage, on part de $1<\sqrt2<2$, on teste des dixièmes jusqu’à obtenir $1{,}4<\sqrt2<1{,}5$, puis on affine en $1{,}41<\sqrt2<1{,}42$.

💡 Astuce mémo

Supposer le contraire → obtenir une contradiction → conclure.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres