Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et vocabulaire des suites
2. Modes de génération d’une suite
3. Calcul des termes d’une suite
4. Représentation graphique des termes
5. Sens de variation d’une suite
6. Tableur et algorithmique Python

📖 1. Définition et vocabulaire des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste infinie de nombres qui suivent une logique et sont numérotés.

★ À maîtriser

📌 Dans une suite (uₙ), l’indice n appartient aux entiers naturels, représente la position du terme, tandis que uₙ désigne la valeur du nombre situé à cet indice.

Compléments

• Une suite numérique peut être considérée comme une fonction de ℕ dans ℝ qui associe à tout entier naturel n son image u(n), notée uₙ.

💡 Astuce mémo

L’indice n indique la position, tandis que uₙ indique la valeur.

📖 2. Modes de génération d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation explicite : Définit chaque terme uₙ directement en fonction de sa position n, sans utiliser les termes précédents, sous la forme uₙ = f(n).
• Relation de récurrence : Donne un premier terme et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du terme précédent, sous la forme uₙ₊₁ = f(uₙ).

💡 Astuce mémo

Explicite : accès direct à uₙ ; récurrence : calcul à partir du terme précédent.

📖 3. Calcul des termes d’une suite

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par uₙ = -2n + 4, les premiers termes sont u₀ = 4, u₁ = 2, u₂ = 0 et u₃ = -2, tandis que u₁₀₀ = -196.

• Pour une suite récurrente définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = -2uₙ + 4, on calcule successivement u₁ = 2, u₂ = 0 et u₃ = 4 à partir du terme précédent.

💡 Astuce mémo

Explicite : remplacer n ; récurrence : partir de u₀ puis avancer terme par terme.

📖 4. Représentation graphique des termes

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Ensemble des points Mₙ de coordonnées (n ; uₙ) dans un repère du plan.

📝 Points essentiels

📌 Les points représentant une suite ne sont pas reliés, car une suite est définie sur les entiers naturels et non sur un intervalle.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points isolés (n ; uₙ), jamais une courbe reliée.

📖 5. Sens de variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Vérifie, pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ ≥ uₙ.
• Suite décroissante : Vérifie, pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ ≤ uₙ.

📝 Points essentiels

📌 Certaines suites ne sont ni croissantes ni décroissantes, et l’observation des premiers termes ne suffit pas à généraliser le sens de variation de toute la suite.

💡 Astuce mémo

Croissante : uₙ₊₁ ≥ uₙ ; décroissante : uₙ₊₁ ≤ uₙ.

📖 6. Tableur et algorithmique Python

★ À maîtriser

• Pour générer une suite récurrente dans un tableur, on place les indices en colonne A, la valeur initiale en B2, la formule liée au terme précédent en B3, puis on étire cette formule vers le bas.

• En Python, une suite récurrente se calcule en initialisant u à 1, en répétant n fois la mise à jour u = -2*u + 4, puis en renvoyant u.

Compléments

• Dans un tableur, une suite explicite se génère en plaçant les indices en colonne A, en entrant la formule du terme en B2, puis en étirant cette formule vers le bas.

• En Python, une suite explicite se calcule en affectant à u l’expression -2*n + 4 puis en renvoyant u.

💡 Astuce mémo

Le tableur étire des formules, Python répète la récurrence dans une boucle.

📊 Tableaux de synthèse

Deux modes de génération