Fiche de révision : Statistiques à deux variables

📋 Plan du Cours

1. Conversion des unités de température
2. Nuage de points et point moyen
3. Droite d’ajustement affine
4. Calculatrice et tableur
5. Interpolation et extrapolation
6. Qualité et limites du modèle
7. Applications aux séries statistiques

📖 1. Conversion des unités de température

★ À maîtriser

📐 Formule — La conversion des degrés Fahrenheit en degrés Celsius se fait avec la formule $C=(F-32)\times\frac{5}{9}$.

Compléments

• Une température moyenne de 47 °F correspond à environ 8,3 °C.

💡 Astuce mémo

Fahrenheit au Royaume-Uni, Celsius en France

📖 2. Nuage de points et point moyen

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique à deux variables : Série double définie par des couples (x ; y).
• Nuage de points : Ensemble des points de coordonnées (x ; y) représentant une série statistique à deux variables dans un repère orthogonal.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le point moyen G a pour coordonnées $G(\bar{x};\bar{y})$, avec $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ et $\bar{y}=\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n}$.

Compléments

• Pour les consommations de la série automobile, le point moyen est G(5,7 ; 132,2), où 5,7 est la consommation moyenne en L/100 km et 132,2 le rejet moyen en g/km.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points centré autour du point moyen G

📖 3. Droite d’ajustement affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite d’ajustement affine : Droite qui modélise un nuage de points de forme allongée et passe par le point moyen G.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation d’une droite d’ajustement affine s’écrit $y=ax+b$.

Compléments

📐 Formule — Pour la série sur la diode, l’équation de la droite d’ajustement est $y=0{,}0072x+2{,}094$, où x est l’intensité en mA et y la tension en V.

📐 Formule — Pour la série sur la consommation de bois, l’équation de la droite d’ajustement est $y=13{,}13x+178{,}6$.

💡 Astuce mémo

Nuage allongé → droite d’ajustement

📖 4. Calculatrice et tableur

★ À maîtriser

• 🔄 La démarche à la calculatrice est:

  1. Mettre la calculatrice en mode Statistiques
  2. Saisir les valeurs de x dans la liste 1 et les valeurs de y dans la liste 2
  3. Afficher le nuage de points
  4. Choisir la fenêtre d’affichage
  5. Rechercher l’équation de la droite d’ajustement
  6. Tracer la droite d’ajustement affine

• 🔄 La démarche au tableur est:

  1. Saisir les valeurs de x en colonne A et celles de y en colonne B
  2. Sélectionner les deux colonnes
  3. Représenter le nuage de points
  4. Ajouter une courbe de tendance linéaire
  5. Afficher l’équation sur le graphique

Compléments

• Pour 5 L/100 km, la droite d’ajustement de la série automobile donne un rejet estimé de 115 g/km.

💡 Astuce mémo

Saisir → représenter → ajuster → estimer

📖 5. Interpolation et extrapolation

★ À maîtriser

📌 L’interpolation estime une nouvelle valeur lorsque l’abscisse recherchée se situe dans l’intervalle des données, tandis que l’extrapolation l’estime lorsqu’elle se situe hors de cet intervalle.

Compléments

• Pour les panneaux isolants dont les épaisseurs vont de 60 à 240 mm, une estimation à 160 mm est une interpolation.

• La recherche de l’épaisseur nécessaire pour obtenir une résistance thermique de 7 m²·°C/W à partir de données allant jusqu’à 240 mm est une extrapolation.

💡 Astuce mémo

Interpolation dans l’intervalle, extrapolation hors de l’intervalle

📖 6. Qualité et limites du modèle

★ À maîtriser

• L’équation de la droite d’ajustement est déterminée par la méthode des moindres carrés, qui minimise les carrés des écarts entre les points du nuage et ceux de la droite.

• Le coefficient de détermination R² renseigne sur la qualité de l’ajustement, et plus il est proche de 1, plus les points du nuage sont proches de la droite d’ajustement.

Compléments

📌 Un ajustement affine peut être adapté dans l’intervalle des données mais devenir inadapté lorsqu’on extrapole très loin de cet intervalle.

💡 Astuce mémo

R² proche de 1 : ajustement meilleur ; altitude éloignée : modèle moins sûr

📖 7. Applications aux séries statistiques

★ À maîtriser

• Pour 250 charpentes, l’équation $y=13{,}13x+178{,}6$ donne une consommation de bois estimée à 3 461 m³.

• 🔄 La méthode de prévision consiste à:

  1. Remplacer la variable connue dans l’équation
  2. Effectuer le calcul
  3. Interpréter le résultat avec son unité

Compléments

• Pour une voiture courante, la relation donnée entre cylindrée et puissance peut être étudiée avec les couples (cylindrée ; puissance), et la conversion indiquée est $1\ ch\approx0{,}736\ kW$.

• La cylindrée d’un moteur correspond au volume des cylindres qui le constituent.

📊 Tableaux de synthèse

Interpolation et extrapolation